2020-10-10
119
Литература: [1]‚ гл. I‚§§ 1, 2
[2]‚ § 5
[9]‚ гл.·3‚ § 3.2
Вектор 
называется линейной комбинацией векторов 
, 
,…, 
, если его можно представить в виде 
, где 
, 
,…, 
− некоторые числа. Это равенство называют также разложением вектора по векторам , ,…, .
Векторы , ,…, являются линейно зависимыми, если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Например, 
. В противном случае (т.е. ни один из векторов , ,…, не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных) векторы являются линейно независимыми.
Пара векторов на плоскости является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные.
Тройка векторов в пространстве является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.
Базисом на плоскости называется упорядоченная пара линейно независимых (т.е. неколлинеарных) векторов. Упорядоченная пара векторов означает, что указано, какой из этих векторов является первым, а какой вторым.
Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка линейно независимых (т.е. некомпланарных) векторов.
Каждый вектор может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов и притом единственным образом.
Например, 
. Здесь 
, 
, 
− базисные векторы. Коэффициенты , , 
разложения вектора по базисным векторам называются координатами вектора в этом базисе.
В трехмерном пространстве широко применяется декартова (прямоугольная) система координат Oxyz с базисными векторами 
, 
, 
. Эти векторы ортогональны (т.е. взаимно перпендикулярны) и нормированы (т.е. имеют длину равную 1). Базис , 
, 
поэтому называется ортонормированным.
Любой вектор 
в декартовой системе координат может быть единственным образом представлен в виде 
.
Особенность декартовой системы координат в том, что коэффициенты этого разложения 
, 
, 
(т.е. координаты вектора) являются проекциями вектора на соответствующие оси Ox, Oy и Oz.
Длина (модуль) вектора определяется по формуле:
.
Направление вектора задается углами α, β, γ, образованными ими с координатными осями Ox, Oy и Oz. Косинусы этих углов (они называются направляющими косинусами вектора) определяются по формулам:
, 
, 
.
Направляющие косинусы связаны соотношением
.
Если векторы и коллинеарные и сонаправленные, то их направляющие косинусы равны:
, 
, 
.
Откуда, введя обозначение 
, получим условия коллинеарности векторов и :
.
Заметим, что если векторы и противоположно направлены, то в равенстве следует перед 
поставить знак минус.
Если вектор задается направленным отрезком 
, причем 
и 
, то координаты вектора равны разности соответствующих координат точек конца и начала вектора
, 
, 
,
при этом длина вектора определяется следующим образом
.
При сложении векторов в прямоугольной системе координат их координаты складываются
.
При умножении вектора на число координаты получаемого вектора умножаются на это число
.
Пример 11. Вектор составляет с осями координат острые углы α, β, γ, причем α = 45˚, β = 60˚. Найти его координаты, если 
.
Решение. Прежде всего, найдем угол 
. C учетом того, что угол 
острый, имеем
, 
.
Искомые координаты вектора
Итак, 
.
