Смешанное произведение трех векторов

Литература: [1]‚ гл. І‚ § 3

[2]‚ § 13;

[9]‚ гл.·3‚ § 3.5

Смешанным произведением трех векторов ,  и  называется число, равное векторному произведению векторов  и  скалярно умноженному на вектор : . Обозначается .

Свойства смешанного произведения:

1) смешанное произведение не изменится, если переставить перемножаемые векторы в круговом порядке

;

2) при перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменит только знак

;

3) смешанное произведение компланарных векторов равно 0;

4) модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах: .

Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах ,  и  определяется по формуле: .

Если векторы ,  и  заданы в координатной форме, то их смешанное произведение вычисляется при помощи определителя

.

Пример 17. Найти объем пирамиды, имеющей вершины в точках А (5, 5, 6), В (4, 5, 4), С (4, 3, 3), D (2, 2, 2).

Решение. С ребрами пирамиды совпадают векторы . Найдем эти векторы: (-1, 0, -2), (-1, -2, -5), (-3, -3, -4).

(ед³).

Пример 18. Доказать, что точки А (1, 0, 7), В (-1, -1, 2), С (2, -2, 2) D (0, 1, 9) лежат в одной плоскости.

Решение. Если точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, то и векторы ,  и  компланарны. Найдем эти векторы:

(-2, -1, -5), (1, -2, -5), (-1, 1, 2).

Проверяем условие компланарности трех векторов :

.

Так как смешанное произведение трех векторов равно 0, то они компланарны. Следовательно, точки А, В, С и D лежат в одной плоскости.