Индивидуальные задания

2 3 4 5 6 7 8

Задание 1. Вычислить указанные определённые интегралы.

Вариант 0.

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Вариант 1.

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Вариант 2.

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Вариант 3.

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Вариант 4.

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Вариант 5.

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Вариант 6.

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Вариант 7.

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Вариант 8.

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Вариант 9.

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Задание 2. Построить фигуру, ограниченную заданными линиями, и вычислить её площадь.

Вариант 0.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4. .

Вариант 5. .

Вариант 6.

Вариант 7. .

Вариант 8.

Вариант 9.

Задание 3. Вычислить объём тела, получающегося при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы.

Вариант 0.

Вариант 1. .

Вариант 2.

Вариант 3. .

Вариант 4.

Вариант 5. .

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9. .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Практическая часть

Пример 1. Найти решение задачи Коши для ДУ первого порядка

Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, то есть уравнением вида (здесь ). Запишем его в виде . Разделив обе части уравнения на и умножив на , получаем ДУ с разделенными переменными

в левой части которого отсутствуют члены, содержащие , и в правой части которого отсутствуют члены, содержащие . Интегрируя обе части последнего уравнения, получаем ,

или

(здесь символ обозначает какую-либо одну первообразную, произвольная постоянная взята в логарифмическом виде для удобства). После потенцирования получаем общее решение исходного ДУ

Заметим, что здесь постоянная может принимать любое действительное значение, в частности значение , так как при получаем функцию , которая также является решением исходного уравнения.

Для того чтобы выделить из общего решения решение, удовлетворяющее условию , определим значение постоянной так, чтобы это условие оказалось выполненным.

Подставив в общее решение и , получаем , отсюда . Следовательно,

– искомое решение задачи Коши.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Запишем уравнение в виде

Данное уравнение является однородным ДУ первого порядка, то есть уравнением вида (здесь ). Для его решения сделаем подстановку . Отсюда и . Подставляя выражения для и в последнее ДУ, получаем

или .

Это уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Решим его.

, ,

, .

Найденное решение подставим в формулу и получим, что общее решение исходного ДУ есть .

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Данное уравнение является линейным ДУ первого порядка, то есть уравнением вида (здесь , ). Его решение будем искать в виде произведения двух функций . Запишем производную произведения . Подставляя данные выражения в ДУ, получаем

или . ()

Приравняем к нулю выражение в скобках в левой части уравнения ():

. Решив это ДУ с разделяющимися переменными, найдем функцию .

, , ,

, , , ,

, .

(Так как ищется любое ненулевое частное решение , то значение произвольной постоянной при интегрировании можно выбрать нулевым).

Подставив найденную функцию в равенство (), получаем

, или .

Полученное ДУ с разделяющимися переменными запишем в виде

или .

Интегрируя обе части последнего уравнения, получаем

Перемножив найденные функции и , получим общее решение исходного дифференциального уравнения

Пример 4. Найти решение задачи Коши для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

Пример 5. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка

Решение. Общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид , где – общее решение однородного уравнения, а – частное решение неоднородного уравнения.