Точки пересечения графика функции с осями координат

Для нахождения точек пересечения графика с осью  решим систему уравнений

Отсюда получаем, что , . Следовательно, точка  является точкой пересечения графика функции с осью .

Для нахождения точки пересечения графика функции с осью  решим систему уравнений

Отсюда , , поэтому точка  является точкой пересечения графика функции с осью .

4. Исследование функции по первой производной (интервалы монотонности, точки экстремума).

Найдем первую производную функции:

 при ,  не существует при  и . Точки , ,  разбивают область определения функции на четыре интервала , , , . Определим знак производной  на каждом из них. Возьмем любое число из интервала , например . Так как , поэтому на всем интервале  производная  и, следовательно, функция монотонно возрастает. Аналогично определяем знак производной  на трех других интервалах:

,

,

.

Результаты исследования занесем в таблицу:

			0
	+	+	0	−	−
			0
	функция возрастает	функция возрастает	max	функция убывает	функция убывает

Итак, функция возрастает на каждом из интервалов ,  и убывает на интервалах , . В точке  производная меняет знак с «+» на «−», следовательно,  − точка максимума функции. Значение функции в этой точке равно:

.

5. Исследование функции по второй производной (выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика).

Найдем вторую производную функции:

, если . Это уравнение не имеет решения.

 не существует при  и .

Точки ,  разбивают область определения функции на три интервала: , , . Определим знак производной  на каждом из них. Так как , поэтому на всем интервале  производная  и, следовательно, график функции является вогнутым на данном интервале. Аналогично определяем, что  на интервале , поэтому график выпуклый на данном интервале. На интервале , поэтому график вогнутый на этом интервале. Результаты исследования занесем в таблицу:

	+	−	+
	вогнутый график	выпуклый график	вогнутый график

Точек перегиба на графике функции нет.