Определение 2.1. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю (если этот предел существует), то есть
или .
Значение производной функция в точке обозначается или , или . Операция нахождения производной называется дифференцированием; функция , имеющая производную в каждой точке интервале , называется дифференцируемой в этом интервале.
Теорема 2.1.(О связи между непрерывностью и дифференцируемостью)
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
З а м е ч а н и е 2.1. Обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной.
Производная широко используется при изучении различных процессов. Рассмотрим задачу о скорости.
Пусть материальная точка движется неравномерно вдоль некоторой прямой. Закон движения (зависимость пройденного расстояния от времени) известен и имеет вид . Ставится задача нахождения мгновенной скорости точки. Моменту времени соответствует значение расстояния . Моменту времени соответствует значение расстояния . За промежуток времени точкой пройдено расстояние .
|
|
Средняя скорость движения точки определяется формулой и зависит от значения : чем меньше , тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени. При очень малом значении () получается формула для нахождения мгновенной скорости точки .
В этом и заключается механический смысл производной: – скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени .
Рис 2.1
Рассмотрим задачу о касательной.
Рассматривается непрерывная кривая – график непрерывной функции . Через точки и ( этого графика проведена прямая – секущая (рис 7.2.) (она составляет угол с осью ).
Угловой коэффициент секущей определяется по формуле или .
При уменьшении значения , точка приближается вдоль кривой к точке . При очень малом значении () секущая
приближается к своему предельному положению и переходит в касательную – прямую (рис 7.2.), при этом ( – угол, который составляет касательная с осью ).
При очень малом значении () получается формула для нахождения углового коэффициента касательной к графику функции в точке
.
В этом и заключается геометрический смысл производной: – угловой коэффициента касательной к графику функции в точке есть производная этой функции в точке .
Рис. 2.2.
З а м е ч а н и е 2.2. Если точка касания имеет координаты , то, используя уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, можно записать уравнение касательной .
|
|
З а м е ч а н и е 2.3. Уравнение нормали к кривой принимает вид
, где – угловой коэффициента нормали (прямой, перпендикулярной касательной в точке касания ).
Рис. 2.3.