Производная суммы, разности, произведения и частного функций. (Правила дифференцирования)

Пусть и – дифференцируемые в некотором интервале функции.

Теорема 2.2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: .

Теорема 2.3. Производнаяпроизведения двух функций равна произведению производной первой функции на второй сомножитель плюс произведение второго сомножителя на производной второй функции: .

Теорема 2.4. Производнаячастного двух функций , если равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя дроби: .

Следствие 2.1. Если , то .

Следствие 2.2. Если , то .

Следствие 2.3. Если , то .

Таким образом, при вычислении производных следует применять следующие правила дифференцирования:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , ;

Производная сложной и обратной функции

Пусть – сложная функция с промежуточным аргументом и независимым аргументом , то есть и .

Теорема 2.5. (Производная сложной функции )

Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле: .

З а м е ч а н и е 2.4. Для нахождения – производной сложной функции надо – производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на – производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Пусть и – взаимно обратные функции.

Теорема 2.6. (Производная обратной функции) Если функция строго монотонна на интервале и имеет неравную нулю производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция в соответствующей точке также имеет производную , определяемую равенством: или .