Основные теоремы о пределах

Здесь приводятся теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировки теорем для случаев, когда и . В приводимых теоремах будем считать, что и существуют.

Теорема1.11. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

З а м е ч а н и е 1.2. Теорема справедлива для любого конечного количества функций.

Теорема 1.12. Функция может иметь только один предел при .

Теорема 1.13. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Теорема 1.14. Постоянный множитель можно выносить за знак предела .

Теорема 1.15. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

Теорема 1.16. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

, .

З а м е ч а н и е 1.3. Во многих вопросах анализа достаточно только убедится в существовании предела функции, поскольку не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел.

Далее приводятся признаки существования пределов.

Теорема 1.17. (О пределе промежуточной функции)

Если функция заключена между двумя функциями и , стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, то есть если

, и ,

то .

Теорема 1.18. (О пределе монотонной функции)

Если функция монотонна и ограниченапри или при , то существует соответственно ее левый предел или ее правый предел .

Следствие 1.3. Ограниченная монотонная последовательность имеет предел.

Замечательные пределы

Первый замечательный предел.

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто возникает предел вида , называемый первым замечательным пределом. Использование данного предела позволяет раскрывать неопределенности вида .