Равенства и называют в торым замечательным пределом. Использование данного вида пределов позволяет раскрывать неопределенности вида .
Непрерывность функции. Точки разрыва, их классификация.
Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки.
Определение 1.6. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, то есть .
Определение 1.7. Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Пусть функция определена на интервале . Разность называется приращением аргумента и записывается , .
Разность соответствующих значений функции называется приращением функции и записывается , или .
Можно ввести еще одно определение непрерывности функции в точке в других обозначениях.
Определение 1.8. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение, то есть функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, то есть .
|
|
Далее рассматривается функция , определенная на некотором интервале .
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва. Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Если в точке разрыва существуют конечные пределы функции слева и справа , то – то точка разрыва первого рода. При этом если , то – то точка устранимого разрыва первого рода; если , то – то точка конечного разрыва первого рода.
Точка – точка разрыва второго рода функции , если хотя бы один односторонний предел не существует или равен бесконечности.