Выпуклость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции  называется выпуклым (выпуклым вверх) на интервале , если он  расположен  ниже любой ее касательной на этом интервале (рис 3.7).

График дифференцируемой функции  называется вогнутым (выпуклым вниз) на интервале , если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале (рис 3.7).

Рис 3.7

Точка графика непрерывной функции , отделяющая область выпуклости от области вогнутости (и наоборот) называется точкой перегиба (рис 3.7).

Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью следующей теоремы.

Теорема 3.10.   Если функция во всех точках интервала  имеет отрицательную вторую производную, то есть , то ее график – выпуклый (выпуклый вверх) на интервале .

Если функция во всех точках интервала  имеет положительную вторую производную, то есть , то ее график – вогнутый (выпуклый вниз) на интервале .

Очевидно, перегиб может возникать лишь в точках, где вторая производная равна нулю или не существует. Эти точки еще называют подозрительными на перегиб.

Точки перегиба находят с помощью следующей теоремы.

Теорема 3.11. (Достаточные условия существования точек перегиба)

Пусть  или не существует , то есть  – точка подозрительная на перегиб.

Если вторая производная  меняет знак, при переходе через точку , то точка графика с абсциссой  – точка перегиба.