2020-10-09
129
Частная производнаяфункции двух переменных 
определяется как производная функции одной переменной, при условии постоянства другой переменной.
Так как 
и 
являются независимыми переменными, то одна переменная может меняться, а вторая сохранять постоянное значение. Пусть переменная меняется на величину 
(эта величина называется приращением), при этом переменная не меняет своего значения. Функция при этом получит приращение, которое называется частным приращением по переменной и обозначается 
, то есть 
. Аналогично вычисляется частное приращение по переменной : 
.
Частной производной первого порядка функции по переменной называется предел вида 
, если такой предел существует. Обозначается такая производная 
или 
(значение производной в точке 
обозначается символами 
или 
),
то есть 
.
Аналогично определяется и обозначается ч астная производная первого порядка функции по переменной : 
.
Частные производные высших порядков.
Частные производные первого порядка функции двух переменных являются функциями от переменных и . Эти функции в свою очередь также могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и вычисляются следующим образом:
|
|
|
; 
.
Частные производные второго порядка, взятые по разным переменным называются смешанными производными:
;
.
Теорема 4.1. Шварца.
Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся порядком дифференцирования, равны между собой.
В частности, для верно 
(или 
).
