Свойства неопределенного интеграла

Прежде всего, укажем свойства, которые непосредственно вытекают из определения неопределенного интеграла.

1. , .

2. .

Следующие два свойства называются линейными свойствами неопределенного интеграла.

3. .

4. .

Отметим свойство инвариантности формулы интегрирования.

5. Если , то и , где   – произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Таблица основных неопределенных интегралов

1. , .

2. , .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

Основные методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Метод подстановки

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку , где   – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда   и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования получаем формулу интегрирования подстановкой или формулой замены переменных

                                   .                             

После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования  назад к переменной .

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде , тогда . Другими словами, формулу (10.1) можно применять справа налево.

С помощью метода замены переменной можно вывести следующие основные правила интегрирования:

1. Если , то ;

2. ;

3. .