Полный дифференциал функции двух переменных

Пустьфункция определена в некоторой окрестности точки . Полное приращение функции в точке (приращение по переменным и ) определяется и обозначается .

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

где , при и .

Выражение представляет собой полный дифференциал главную часть приращения функции, его обозначают . Выражения и называются собой частнымидифференциалами. Для независимых переменных и , поэтому выражение для полного дифференциала принимает вид .

Теорема 4.2.(необходимое условие дифференцируемости функции).

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные и ,

причем и .

Следствие 4 .1. Формула полного дифференциала имеет вид .

Теорема 4.3. (достаточное условие дифференцируемости функции).

Если функция имеет частные производные и в точке , то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал вычисляется по формуле .

Экстремум функции двух переменных.

Понятия максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной.

Пусть функция определена в некоторой области . Точка называется точкой максимума функции , еслидля любых точек из -окрестности (достаточно малой окрестности) точки выполняется неравенство (см. Рис 4.1).

Аналогично определяется точка минимумафункции ,: для любых точек из -окрестности (достаточно малой окрестности) точки выполняется неравенство (см. Рис 4.1).