2020-10-09
306
Пусть функция 
задана на отрезке 
. Разобьем отрезок 
на 
произвольных частей точками:
.
В каждом частичном отрезке 
выберем произвольную точку 
:
, 
,
и вычислим значение функции в ней, т.е. величину 
.
Умножим найденное значение функции на длину 
соответствующего частичного отрезка: 
.
Составим сумму всех таких произведений:
.
Эта сумма называется интегральной суммой функции на отрезке 
. Геометрический смысл величины 
указан на рис 6.1: это сумма площадей прямоугольников с основаниями 
и высотами ().
Рис. 6.1
Обозначим через 
длину наибольшего частичного отрезка:
.
Конечный предел 
интегральной суммы при 
, если он существует, называется определенным интегралом от функции на отрезке 
и обозначается 
. Таким образом,
.
Числа 
и 
называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, 
– подынтегральным выражением, 
– переменной интегрирования, отрезок 
– областью (отрезком) интегрирования.
Функция 
, для которой на отрезке 
существует определенный интеграл называется интегрируемой на этом отрезке.
Ответ на вопрос о том, какие функцииявляются интегрируемыми, дают следующие теоремы, которые мы приводим без доказательства.
Теорема 6.1 (Коши). Если функция непрерывна на отрезке 
, то она интегрируема на нем.
Теорема 6.2. Если определенная и ограниченная на отрезке 
функция имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.
Теорема 6.3. монотонная на отрезке 
функция интегрируема на этом отрезке.
