Основные методы расчета электрических цепей

Метод узловых потенциалов базируется на первом законе Кирхгофа и законе Ома. Он позволяет уменьшить количество независимых  уравнений системы до числа, равного количеству узлов без одного: .                                                        

При составлении уравнений по методу узловых потенциалов (напряжений) вначале полагают равным нулю потенциал какого-либо узла (его называют базисным). Для определения потенциалов (напряжений) оставшихся () узлов составляется следующая система уравнений:

                         Здесь G_kk — сумма проводимостей всех ветвей, подсоединенных к узлу k (собственная проводимость узла k); G_km — сумма проводимостей всех ветвей, непосредственно соединяющих узел k с узлом m (взаимная проводимость узлов k и m); — алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, подсоединенных к узлу k, на проводимости этих ветвей (со знаком плюс берутся ЭДС, которые направлены к узлу k, и со знаком минус — от узла k); — алгебраическая сумма токов источников тока, подсоединенных к узлу k (со знаком плюс берутся токи, которые направлены к узлу k, а со знаком минус — от узла k).

Путем решения системы уравнений (5.1) определяют потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, находят с помощью закона Ома для участка цепи.

Если в схеме некоторые узлы соединяются идеальными источниками ЭДС, то число уравнений, составляемых по методу узловых потенциалов, уменьшается до ,                                           

 где — число ветвей, содержащих только идеальные источники ЭДС.  

Для схем, имеющих два узла (для определенности узлы a и b), узловое напряжение   определяется формулой

                            ,                                       (5.2)

где  — алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвейна проводимости этих ветвей (ЭДС считаются положительными, если они направлены к узлу а, и отрицательными, если направлены от узла a);  — алгебраическая сумма токов источников тока (токи положительны, если они направлены к узлу a, иотрицательны, если направлены от узла a); — сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы a и b.

Метод контурных токов основан на введении условных контурных токов, протекающих в каждом контуре цепи (по любой ветви цепи должен проходить хотя бы один выбранный контурный ток). При этом ток в любой ветви цепи можно представить в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этой ветви. Метод контурных токов позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа K, равного  общему числу неизвестных контурных токов, которое равно , где N_В – число ветвей цепи, N_у - число узлов цепи, N_Т – число ветвей цепи, содержащих идеальные источники тока. Рекомендуется выбирать  контурных токов так, чтобы каждый из них проходил через один источник тока (эти контурные токи совпадают с соответствующими токами источников тока и они обычно являются заданными условиями задачи), а оставшиеся  контурные токи выбирать проходящими по ветвям, не содержащим идеальных источников тока. Для определения последних контурных токов по второму закону Кирхгофа для этих контуров составляют K уравнений в виде

где — собственное сопротивление контура n (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур n); — общее сопротивление контуров n и l, причем = :если направления контурных токов в общей ветви для контуров n и l совпадают, то  положительно ( > 0), в противном случае   отрицательно ( _/< 0);

  — алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур n; — общее сопротивление ветви контура n с контуром, содержащим источник тока :если направления контурных токов и токов источников в общей ветви совпадают, то  положительно ( > 0), в противном случае   отрицательно ( < 0);

Баланс мощностей вытекает из теоремы Теллегена. Пусть граф некоторой электрической цепи содержит n _в ветвей и n _у узлов. Для согласованных направлений напряжений и токов ветвей по теореме Теллегена сумма попарных произведений напряжений и токов всех ветвей ориентированного графа, равна нулю .                            

Произведение u_k i_k представляет собой мгновенную мощность p_k   k -ой ветви графа, поэтому алгебраическая сумма мгновенных мощностей всех ветвей цепи равняется нулю. Если выделить участки цепи с независимыми источниками, то баланс мощности можно сформулировать следующим образом: алгебраическая сумма мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равняется алгебраической сумме мощностей, потребляемых остальными участками электрической цепи.

Мощность источника постоянного напряжения: P_u = EI = UI,где E и U – ЭДС или задающее напряжение источника соответственно, I – ток, протекающий в ветви с источником. Если ЭДС и ток совпадают по направлению (рис.5.1), то их произведение берется со знаком «+», если их направления противоположны, то - «-». Соответственно, для U – наоборот.

Мощность источника постоянного тока P_j = JU, где J – ток источника, U – напряжение на зажимах источника. Если напряжение и ток источника направлены противоположно (рис.5.1), то их произведение берется со знаком «+», если они совпадают по направлению, то со знаком «−».

                                        Рис. 5.1

Мощность в резистивном сопротивлении может быть записана как:

P=UI где U –напряжение на резистивном сопротивлении, I – ток, протекающий в ветви c R. Если напряжение и ток совпадают по направлению, то их произведение берется со знаком «+», если их направления противоположны, то - «-». С учетом закона Ома легко получить следующие формулы расчета мощности:

                                     P = RI² или P = GU²,

где направление тока или напряжения не имеет значения.

Лекция 2