2020-10-12
212
Символічний метод комплексних амплітуд (комплексний метод, іноді, просто – символічний метод) заснований на представленні гармонічних функцій часу за допомогою комплексних чисел. Можливість подібної заміни обумовлена тим, що в режимі гармонічних коливань всі коливання мають одну і ту ж заздалегідь відому частоту. Але тоді функція s(t) =Sm cos(w ×t + ψ), що описує задане або шукане гармонічне коливання відомої частоти, характеризується лише двома дійсними числами: Sm і ψ. Ці два числа можна об'єднати в одне комплексне число, яке може розглядатися як символічне зображення косинусоїдальної функції. Зрозуміло, що операції над числами простіші за операції над функціями. Це і зумовило широке застосування символічного методу аналізу режиму гармонічних коливань в електричних колах.
Нагадаємо, що к о м п л е к с н и м числом А називається вираз вигляду
А = А' + jА" (1)
де А' і А" — дійсні числа, які називаються відповідно д і й с н о ю і уявною частинами комплексного числа; j= 
– уявна одиниця. Дійсну і уявну частини комплексного числа іноді позначають: А' = Re[ А ], А" = Im[ А ]. Вираз (1) - це алгебраїчна форма запису комплексного числа.
|
|
Рисунок 8.1
Комплексне число А зображається на комплексній площині у вигляді точки А, абсциса якої рівна А',а ордината – А" (рис. 8.1, а). Ось абсцис, на якій відкладається дійсна частина комплексного числа, називається дійсною (Re); ось ординат, на якій відкладається уявна частина, – уявною (Im).
Кожній точці А комплексної площини і, отже, кожному комплексному числу А можна поставити у відповідність вектор А, проведений з початку координат в точку А (рис. 8.1, б). Довжину вектора, що зображає комплексне число, називають модулем цього числа
(2)
Кут a, що утворюється вектором А з позитивним напрямом дійсної осі, називають а р г у м е н т о м комплексного числа:
a = arctg 
+2 np. (3)
Позитивний напрям відліку кута a –проти годинникової стрілки. Аргумент комплексного числа може мати нескінченну безліч значень, що відрізняються одне від одного на 2п p, де п – ціле число. Головне значення аргументу поміщене в проміжку – p £ a £ +p.
Як бачимо на рис. 8.1, б, дійсна А' і уявна А" частини комплексного числа А є проекції вектора А на дійсну і уявну осі відповідно:
A' =Re [ А ] = | A |cos a; A" = Im [ A ] = | A | sin a. (4)
Підставляючи співвідношення (4) у вираз (1), можна перейти від алгебраїчної форми запису до т р и г о н о м е т р и ч н о ї:
А = А' + jА" = | A | cos а + j| A | sin а. (5)
Далі, використовуючи формулу Ейлера:
е ja = cos a + j sin a, (6)
отримуємо показову (символічну) форму запису комплексного числа.
Два комплексних числа А = А' + jА" і А * = А' – jА" називаються спряженими, якщо їх дійсні частини рівні, а уявні відрізняються тільки знаками. Точки на комплексній площині, що зображають спряжені комплексні числа, симетричні щодо дійсної осі (рис 8.1, в).
Обчислення з комплексними числами зводяться до дій з дійсними числами, причому операції складання і віднімання зручніше проводити, використовуючи алгебраїчну форму запису, а множення і ділення зручніше проводити в показовій формі.
Отже, при символічному зображенні косинусоїдальної функції s(t) = Sm cos(w t + ψ), параметр w якої відомий, використовується комплексне число
e jψ. (6)
Його модуль і аргумент дорівнюють відповідно параметрам Smі ψ функції.
Між косинусоїдальною функцією і її символічним зображенням існує взаємо-однозначна відповідність. За заданою функцією, використовуючи вираз (6), можна знайти її символічне зображення і, навпаки, за відомим символічним зображенням косинусоїдальної функції знаходяться її параметри Sm і ψ за формулами:
і 
. (7)
Наприклад, якщо 
, то Sm = 1.2,
ψ = 0.2π і s (t) = 1.2cos(w ×t + 0.2π).
1.3 Основні положення символічного методу аналізу
гармонічних коливань
Умовимося комплексне число (
), модуль якого рівний амплітуді, а аргумент – початковій фазі функції, що описує гармонічне коливання, називати комплексною амплітудою коливання (напруги, струму). Такий термін прийнятий не тільки тому, що це число є комплексним, але і тому, що воно в сукупності, комплексно визначає амплітуду і початкову фазу гармонічного коливання (напруги, струму) відомої частоти. Для комплексних амплітуд напруг і струмів зберігається та ж система напрямів відліку, яка була прийнята для миттєвих значень коливань. Комплексні амплітуди напруг і струмів в електричному колі формально відповідають законам Кірхгофа і Ома.
Схемне позначення двополюсника для режиму гармонічних коливань приведене на рис. 8.2. Відношення комплексних амплітуд напруги і струму на вході двополюсника називається комплексним опором двополюсника (комплексом повного опору, імпедансом) і позначається через Z (j w), або часто однією буквою Z. 
Відповідно до визначення
Рисунок 8.2
(8)
де Y (j w) × – комплексна провідність (комплекс повної провідності, адмитанс) двополюсника. Зрозуміло, що комплексні опори і провідність двополюсників є в загальному випадку комплексними величинами.
З (8) витікає, що комплексні амплітуди напруг і струмів на вході двополюсника формально відповідають закону Ома:
і 
(9)
У найпростіших випадках, коли двополюсником є пасивний елемент електричного кола, співвідношення між комплексними амплітудами коливань напруги і струму в елементі такі:
(10)
Отримані співвідношення (10) справедливі і для комплексних дійсних значень струмів і напруг.
Коефіцієнти, що зв'язують між собою комплексні амплітуди напруг і струмів в елементах електричних кіл,
(11)
і є комплексними опорами відповідно індуктивності, резистивного опору і ємності, а зворотні їм величини будуть комплексними провідностями відповідних елементів. Слід звернути увагу на те, що комплексні опори і провідності двополюсників в загальному випадку є функціями частоти гармонічних коливань, що виправдовує прийняті для них позначення Z (jw) і Y (j w).
Оскільки для комплексних амплітуд коливань формально вірні закони Кірхгофа і Ома, то при знаходженні комплексних амплітуд в електричних колах можна застосовувати всі методи, правила і формули аналізу коливань в резистивних електричних колах. Відмінність полягатиме лише в тому, що замість термінів «напруга», «струм», «опір», «провідність» використовуються терміни «комплексна амплітуда напруги», «комплексна амплітуда струму», «комплексний опір» і «комплексна провідність» елементів (гілок) кола.
Метод аналізу режиму гармонічних коливань, в якому операції над функціями, що описують коливання, замінюються операціями над їх символічними зображеннями, отримав назву символічного методу аналізу гармонічних коливань, або просто методу комплексних амплітуд.
1. На першому етапі аналізу задані гармонічні коливання замінюються їх комплексними амплітудами і визначаються комплексні опори гілок (елементів) кола. На схемі кола, що аналізується, як правило, позначаються комплексні амплітуди, а для складних двополюсників 
з комплексними опорами Z (j w ) або провідністю Y(j w)використовується те ж схемне позначення, яке застосовується для резистивного опору (див. рис. 8.2).
2. Далі складається система алгебраїчних рівнянь для комплексних амплітуд коливань, для чого використовується будь-який метод аналізу з описаних для резистивних кіл (метод контурних струмів, вузлових напруг і так далі). Розв’язування цієї системи рівнянь дозволяє знайти комплексні амплітуди шуканих коливань.
У паралельно-послідовних колах комплексні амплітуди шуканих коливань знаходяться за допомогою закону Ома без складання системи рівнянь безпосередньо по схемі кола. При цьому можуть виявитися корисними теорема про еквівалентний генератор, теореми заміщення і взаємності, а також принципи накладення і дуальності.
3. На останньому етапі рішення задачі здійснюється перехід від знайдених комплексних амплітуд коливань до функцій часу, що описують коливання. Найчастіше цей етап аналізу опускається, оскільки комплексні амплітуди коливань містять повну інформацію про гармонічне коливання відомої частоти.
