Линейные операции над векторами

Вектором (свободным) называют совокупность всех одинаково направленных отрезков, имеющих одинаковую длину. Пусть  – направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В (рисунок 1). Этот отрезок   однозначно определяет некоторый вектор . В дальнейшем вектор  и направленный отрезок   будут отождествляться, а использоваться будет тот из них, который в данном случае удобнее. Итак . Длина вектора  есть длина соответствующего отрезка  и обозначается .

1.1.1 Определение. Векторы  и  называются коллинеарными, если соответствующие им направленные отрезки параллельны. Векторы , ,  называются компланарными, если соответствующие им направленные отрезки параллельны одной плоскости.

Два вектора  и  равны, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. Пишут  = .

1.1.2 Определение. Суммой векторов  и  называется вектор, обозначаемый  +  и равный   (рисунок 2).

Итак, +  =  (правило треугольника).

При решении задач полезно использовать свойства суммы векторов.

1.1.3  +  = + , , .

1.1.4  + ( + ) = ( + )+  , , , .

1.1.5 Существует единственный нулевой вектор , имеющий нулевую длину и такой, что , .

1.1.6 Для любого вектора  существует единственный противоположный вектор (– ) такой, что .

1.1.7 Определение. Произведением вектора  на действительное число  называется вектор  (или ), длина которого равна , а направление совпадает с направлением , если >0, и противоположно , если <0.

Перечислим свойства произведения вектора на число, которые постоянно используются при решении задач:

1) ;	3) ;	5) ;
2) ;	4) ;	для любых .

1.1.8 Пример. Пусть задан параллелограмм ,  – точка пересечения его диагоналей (рисунок 3). Доказать, что

1) +  = ;      3) + = .

2) + + = ;

Решение.

1 Известно, что диагонали параллелограмма вточке пересечения делятся пополам. Значит, = . Поскольку векторы  и  противоположно направлены, то =− , т.е. + = .

2 По определению суммы векторов + = . С другой стороны  =− , поэтому + + = .

3 На векторах  и , как на сторонах, построим параллелограмм  (см. рисунок 3). Тогда = , + = + = . Обратимся к четырехугольнику . Это параллелограмм, т.к. , и поэтому = . Теперь очевидно, что + = .