Линейная зависимость и независимость векторов

1.2.1 Определение. Векторы , , …,  называются линейно зависимыми, если существуют числа , , …, , не равные одновременно нулю, для которых выполняется равенство

                           + + … +  = .                                (1)

Если же равенство (1) выполняется только для , , …, , то векторы , , …,  называются линейно независимыми.

Основной признак, которым полезно пользоваться при установлении линейной зависимости (независимости) векторов, заключается в следующем.

1.2.2 Теорема. Векторы , , …,  линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных.

1.2.3 Пример. Пусть  и  – ненулевые векторы. Тогда следующие условия равносильны.

 Векторы  и  линейно зависимы. . .

Доказательство проведем по схеме .

. Если  и  линейно зависимы, то существуют числа  и , такие, что . Так как  и  – ненулевые векторы, то в этом равенстве  и  и из него получим , где .

. Из равенства  и условия  следует, что .

. Пусть . Умножим вектор  на число , если  и  одинаково направлены, и на , если  и  направлены противоположно. Тогда векторы  и , имеющие одинаковые длины, равны, т.е. , что означает линейную зависимость векторов  и .

Таким образом, любые два коллинеарных вектора линейно зависимы.  То же самое можно сказать о любых трех компланарных векторах.

Упражнения

1.3.1 Построить векторы +  и – , если:

 

 

1.3.2 Проверить геометрически справедливость следующих равенств:

1) ( + )+( – )=2 ;       3) + = ( + )/2;

2) ( + )– ( – )=2 ;   4) ( – )/2+ = ( + )/2.

1.3.3 Найти условия, которым должны удовлетворять векторы  и , если:

1) ; 2) ; 3) .

1.3.4 Пусть  – произвольный треугольник, К, L, М – середины сторон , ,  соответственно,  – точка пересечения медиан этого треугольника. Доказать, что

1) = + ;      3) + + = ;

2) + + = ;   4) + + = .

1.3.5 Дан параллелограмм . Пусть = , = . Выразить векторы , , ,  через векторы , .

1.3.6 Доказать, что векторы , , …,  линейно зависимы, если хотя бы один из них нулевой.

1.3.7 Доказать, что если некоторое непустое подмножество векторов из множества , , …,  линейно зависимо, то и все векторы в целом линейно зависимы.

1.3.8 Доказать, что векторы , , …,  линейно зависимы, если среди них есть хотя бы два противоположных вектора.

1.3.9 Доказать, что если векторы , , …,  линейно независимы, то любое непустое подмножество из них также линейно независимо.

Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 1, §1], [2, гл. 2, §§2.1–2.4], [3, гл. I, §1.3].

1.4.1 Выбрать два произвольных неколлинеарных вектора ,  и построить вектор , где

1) =1, =1; 2) = –1, =1; 3) = –1, = –1; 4) = – , =3.

1.4.2 Пусть  – параллелограмм,  – точка пересечения его диагоналей   АС и BD. Доказать, что

1) = ;             3) + = ;

2) − + = ; 4) – = ;

5)  коллинеарен , где =2 –3 , = – .

1.4.3 Пусть  – произвольный четырехугольник,   и  – середины сторон   AB и CD  соответственно. Доказать, что .

1.4.4 Пусть   – треугольник, М - точка пересечения его медиан, О – произвольная точка, = , = , = . Выразить вектор  через векторы , , .

1.4.5 Доказать, что векторы , , …,  линейно зависимы, если хотя бы два на них равны.