Основные способы задания прямой в пространстве

Считаем, что в пространстве задана ортонормированная система координат . Координаты произвольной точки M обозначаем, как правило, x,y,z, и пишем M (x,y,z). Вектор , параллельный прямой L, называют направляющим вектором этой прямой. Перечислим основные способы задания прямых в пространстве.

6.1.1 Прямая L определяется как линия пересечения плоскостей и . Её уравнения имеют вид:

(25)

Уравнения (25) называют общими уравнениями прямой L.

6.1.2 Прямая L определяется одной своей точкой и направляющим вектором . Её уравнение имеет вид:

(26)

Уравнения (26) называют каноническими уравнениями прямой L.

6.1.3 Прямая L определяется одной своей точкой и направляющим вектором . Она может быть задана параметрическими уравнениями вида:

(27)

где t – параметр,

6.1.4 Прямая определяется двумя своими точками и , . Она может быть задана уравнениями следующего вида:

(28)

6.1.5 Пример. Записать канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно оси Ox.

Решение. По условию искомая прямая L параллельна оси Ox, поэтому вектор , расположенный на оси Ox, можно считать направляющим вектором прямой L. Согласно (26) получаем канонические уравнения прямой L:

Заметим, что нули в знаменателях дробей в канонических уравнениях означают только то, что и Согласно (27) получаем параметрические уравнения прямой L:

6.1.6 Пример. Прямая задана общими уравнениями:

Записать канонические уравнения этой прямой.

Решение. Для того, чтобы записать канонические уравнения прямой L, требуется найти какую-либо точку на ней и её направляющий вектор или найти две различные точки этой прямой. Выберем точку на прямой L. Полагаем z= 0 в общих уравнениях прямой. Получаем систему уравнений:

откуда x =3, y =2.

Итак, точка принадлежит L. Направляющий вектор прямой L должен быть перпендикулярен обоим нормальным векторам и плоскостей и . Значит, в качестве направляющего вектора можно взять векторное произведение , т.е.