2020-10-12
233
Во многих задачах, связанных с прямыми в пространстве, необходимо выяснить взаимное расположение двух прямых. Это удобно осуществлять используя направляющие векторы прямых. Если направляющие векторы 
и 
прямых L 
и L 
коллинеарны, то прямые L и L 
совпадают или параллельны. Далее наличие или отсутствие общей точки у прямых L и L 
покажет, совпадают они или параллельны. Если же направляющие векторы 
и 
неколлинеарны, то это равносильно тому, что прямые L и L 
пересекаются или скрещиваются. В первом случае прямые L и L 
имеют одну общую точку, а во втором случае общих точек они не имеют. В ситуациях, когда прямые параллельны или скрещиваются, можно говорить о расстоянии между этими прямыми. Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми L 
и L называется наименьшее из расстояний между различными точками 
и 
.
Рассмотрим также проблему взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Для того, чтобы выяснить взаимное расположение прямой L и плоскости П, проще всего воспользоваться направляющим вектором прямой L и нормальным вектором 
плоскости П. Если векторы 
и 
не ортогональны, то это равносильно тому, что L и П пересекаются в единственной точке. Если же векторы 
и 
ортогональны, то это равносильно тому, что прямая L параллельна плоскости П или лежит в ней.
6.2.1 Пример. Заданы прямые:
L 1: 
и L 2: 
.
При каком значении a они пересекаются?
Решение. Обозначим через 
и направляющие векторы прямых L 
и L 
; 
, 
. Прямые L и L пересекаются тогда и только тогда, когда векторы и неколлинеарны, а векторы 
, , 
компланарны, где 
− точка прямой L , 
− точка прямой L . Возьмем 
, 
(рисунок 9). Ясно, что векторы 
и неколлинеарны, т.к. 
. Находим координаты вектора 
Вычисляем смешанное произведение векторов 
, , :
Для компланарности векторов 
, 
, необходимо и достаточно, чтобы 
, т.е. 
Итак, при 
прямые L и L пересекаются. При других значениях 
прямые L 
и L 
не пересекаются и не параллельны, т.е. скрещиваются.
6.2.2 Пример. Заданы две прямые:
L 1: 
и L 2: 
.
Доказать, что прямые L 
и L 
скрещиваются, и найти расстояние между ними.
Решение. Выпишем направляющие векторы прямых L и L 
: 
=(1,2,3), 
=(1,−1,1). Векторы 
и 
неколлинеарны, поэтому 
и 
пересекаются или скрещиваются. Покажем, что пересечения нет. Для этого достаточно показать, что 
и 
не лежат в одной плоскости. С этой целью построим плоскость П, проходящую через L и параллельную прямой L (рисунок 10). Плоскость П поможет нам в нахождении расстояния между 
и 
. Выберем произвольно две точки на прямых и 
, например A 
(1,2,3) 
L ; A (1, −1, −4) 
L . Искомая плоскость П проходит через точку A 
параллельно векторам 
и , поэтому её уравнение имеет вид:
Отсюда получаем П: 5 x +2 y −3 z −15=0. Очевидно, что A 
П, поэтому L 
П, значит прямые L и L 
скрещиваются. Искомое расстояние между L и L равно расстоянию от A 
до плоскости П (см. рисунок 10). Расстояние d от точки А до плоскости П вычисляем по следующей формуле:
, где 
Получаем
.
Упражнения
6.3.1 Записать канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(1,0,−1) параллельно вектору 
.
6.3.2 Записать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(1, −1, −3) параллельно вектору 
.
6.3.3 Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями
6.3.4 Заданы две прямые:
L : 
и L : 
.
Выяснить их взаимное расположение.
6.3.5 Заданы две прямые:
L : 
и L 
: 
Доказать, что прямые пересекаются, и найти точку их пересечения.
6.3.6 Заданы две прямые:
L : 
L : 
Показать, что прямые L и L перпендикулярны.
6.3.7 Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую 
и точку 
.
6.3.8 Найти ортогональную проекцию точки 
на плоскость x +2 y +3 z +8=0.
6.3.9 Найти ортогональную проекцию прямой 
на плоскость x +2 y +4 z −7=0.
6.3.10 Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и составляющей с плоскостью 2 x + y − 
z =0 угол 
.
6.3.11 Заданы две прямые:
и 
.
Доказать, что прямые и параллельны и найти расстояние между ними.
6.3.12 Заданы две прямые:
и 
.
Доказать, что прямые L и L скрещиваются, и найти расстояние между ними.
Контрольные задания
Рекомендуемая литература [1, гл. 2, §2−3], [2, гл. 5, §5.8, 5.9, 5.12, 5.18].
6.4.1 Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку A(1,2, −2) и параллельной прямой 
6.4.2 Задана прямая и плоскость:
6 x −3 y +2 z =0.
Найти точку их пересечения и угол между ними.
6.4.3 Заданы две прямые:
и 
.
Доказать, что прямые 
и параллельны и найти расстояние между ними.
6.4.4 Заданы две прямые:
и 
.
Доказать, что прямые L и L скрещиваются и найти расстояние между ними.
Список литературы
1 Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д. В. Беклемишев. – М.: Наука, 1976.
2 Основы линейной алгебры и аналитической геометрии / Е. И. Гурский. – Минск: Выш. шк., 1982.
3 Высшая математика. Ч. I. / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. – Минск: Выш. шк., 1984.
