Во многих задачах, связанных с прямыми в пространстве, необходимо выяснить взаимное расположение двух прямых. Это удобно осуществлять используя направляющие векторы прямых. Если направляющие векторы и прямых L и L коллинеарны, то прямые L и L совпадают или параллельны. Далее наличие или отсутствие общей точки у прямых L и L покажет, совпадают они или параллельны. Если же направляющие векторы и неколлинеарны, то это равносильно тому, что прямые L и L пересекаются или скрещиваются. В первом случае прямые L и L имеют одну общую точку, а во втором случае общих точек они не имеют. В ситуациях, когда прямые параллельны или скрещиваются, можно говорить о расстоянии между этими прямыми. Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми L и L называется наименьшее из расстояний между различными точками и .
Рассмотрим также проблему взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Для того, чтобы выяснить взаимное расположение прямой L и плоскости П, проще всего воспользоваться направляющим вектором прямой L и нормальным вектором плоскости П. Если векторы и не ортогональны, то это равносильно тому, что L и П пересекаются в единственной точке. Если же векторы и ортогональны, то это равносильно тому, что прямая L параллельна плоскости П или лежит в ней.
|
|
6.2.1 Пример. Заданы прямые:
L 1: и L 2: .
При каком значении a они пересекаются?
Решение. Обозначим через и направляющие векторы прямых L и L ; , . Прямые L и L пересекаются тогда и только тогда, когда векторы и неколлинеарны, а векторы , , компланарны, где − точка прямой L , − точка прямой L . Возьмем , (рисунок 9). Ясно, что векторы и неколлинеарны, т.к. . Находим координаты вектора Вычисляем смешанное произведение векторов , , :
Для компланарности векторов , , необходимо и достаточно, чтобы , т.е. Итак, при прямые L и L пересекаются. При других значениях прямые L и L не пересекаются и не параллельны, т.е. скрещиваются.
6.2.2 Пример. Заданы две прямые:
L 1: и L 2: .
Доказать, что прямые L и L скрещиваются, и найти расстояние между ними.
Решение. Выпишем направляющие векторы прямых L и L : =(1,2,3), =(1,−1,1). Векторы и неколлинеарны, поэтому и пересекаются или скрещиваются. Покажем, что пересечения нет. Для этого достаточно показать, что и не лежат в одной плоскости. С этой целью построим плоскость П, проходящую через L и параллельную прямой L (рисунок 10). Плоскость П поможет нам в нахождении расстояния между и . Выберем произвольно две точки на прямых и , например A (1,2,3) L ; A (1, −1, −4) L . Искомая плоскость П проходит через точку A параллельно векторам и , поэтому её уравнение имеет вид:
|
|
Отсюда получаем П: 5 x +2 y −3 z −15=0. Очевидно, что A П, поэтому L П, значит прямые L и L скрещиваются. Искомое расстояние между L и L равно расстоянию от A до плоскости П (см. рисунок 10). Расстояние d от точки А до плоскости П вычисляем по следующей формуле:
, где
Получаем
.
Упражнения
6.3.1 Записать канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(1,0,−1) параллельно вектору .
6.3.2 Записать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(1, −1, −3) параллельно вектору .
6.3.3 Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями
6.3.4 Заданы две прямые:
L : и L : .
Выяснить их взаимное расположение.
6.3.5 Заданы две прямые:
L : и L :
Доказать, что прямые пересекаются, и найти точку их пересечения.
6.3.6 Заданы две прямые:
L : L :
Показать, что прямые L и L перпендикулярны.
6.3.7 Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку .
6.3.8 Найти ортогональную проекцию точки на плоскость x +2 y +3 z +8=0.
6.3.9 Найти ортогональную проекцию прямой на плоскость x +2 y +4 z −7=0.
6.3.10 Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и составляющей с плоскостью 2 x + y − z =0 угол .
6.3.11 Заданы две прямые:
и .
Доказать, что прямые и параллельны и найти расстояние между ними.
6.3.12 Заданы две прямые:
и .
Доказать, что прямые L и L скрещиваются, и найти расстояние между ними.
Контрольные задания
Рекомендуемая литература [1, гл. 2, §2−3], [2, гл. 5, §5.8, 5.9, 5.12, 5.18].
6.4.1 Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку A(1,2, −2) и параллельной прямой
6.4.2 Задана прямая и плоскость:
6 x −3 y +2 z =0.
Найти точку их пересечения и угол между ними.
6.4.3 Заданы две прямые:
и .
Доказать, что прямые и параллельны и найти расстояние между ними.
6.4.4 Заданы две прямые:
и .
Доказать, что прямые L и L скрещиваются и найти расстояние между ними.
Список литературы
1 Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д. В. Беклемишев. – М.: Наука, 1976.
2 Основы линейной алгебры и аналитической геометрии / Е. И. Гурский. – Минск: Выш. шк., 1982.
3 Высшая математика. Ч. I. / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. – Минск: Выш. шк., 1984.