Вектор как единое, фундаментальное понятие в физике и математике

При изучении школьных курсов физики и математики встречаются с различными трактовками понятия век­тора, например такими:

вектор как направленный отрезок;

вектор как класс эквивалентных направленных отрезков;

вектор как параллельный перенос [2; 14].

Во всех этих подходах уделяется внимание лишь геометрическому подходу к векторному исчислению, рассматриваются действия над "геометрическими" векторами, что приводит к не правильному пониманию существа понятия вектора.

Рассматривается возможность формирова­ния общего понятия вектора с тем, чтобы содержание этого по­нятия включало в явном виде те физические и математические его интерпретации, с которыми придется иметь дело при дальнейшем образовании.

Для формирования такого общего представления мы ис­пользовали понятие вектора как элемента векторного пространства. Понятие векторного пространства является одним из фун­даментальных понятий современных математики и физики. На­пример, трехмерное векторное пространство является объектом изучения аналитической геометрии, векторное пространство произвольной размерности изучается в линейной алгебре. По­нятие бесконечномерного векторного пространства играет фун­даментальную роль в современном анализе, а конечномерные векторные пространства широко используются в теории функ­ций многих переменных.

Векторный аппарат широко используется в физике. Он применяется, в классической и релятивистской механике, теории поля. Понятие бесконечномерного векторного пространства иг­рает фундаментальную роль в квантовой механике. Вводя не­евклидову метрику, то есть существование таких векторов, квадрат которых меньше нуля, приходим к понятию псевдоевклидова пространства Минковского, которое применяется в спе­циальной теории относительности Эйнштейна. Если рассматривать ненулевой вектор, квадрат которого равен нулю, то придём к понятию полуевклидова пространства, которое связано с клас­сической механикой Ньютона [123; 131].

Таким образом, понятие векторного пространства широко применяется как в математике, так и в физике. Причем в прило­жениях векторного аппарата в различных областях науки ис­пользуются различные интерпретации векторного пространства.

Целесообразно обобщить знания о различных примерах векторов, которые использова­лись в физике.

Известно, что в физике рассматриваются различные виды векторов:

Свободные - такие векторы, которые можно переносить в любую точку пространства параллельно самим себе. Приме­рами таких векторов являются; вектор скорости поступательно­го движения тела, вектор ускорения, вектор момента силы, век­тор магнитной индукции постоянного магнитного поля.

Скользящие – такие векторы, которые можно переносить только по линии их действия. Их примерами являются: вектор силы, приложенной к абсолютно твёрдому телу, вектор углово­го ускорения.

Связанные - такие векторы, которые связаны с опреде­лённой точкой своего приложения. Например: вектор мгновен­ной скорости точки, вектор напряженности неоднородных элек­трических и магнитных полей.

Актуализируя знания учащихся о векторах скорости по­ступательного движения, ускорения, мгновенной скорости, си­лы, приложенной к абсолютно твердому телу, выделяем их общие свойства. В данном случае нас будут интересовать свойства сложения этих векторов и умножения на число. Особое внимание следует уде­лить свойствам сложения векторов: переместительному; сочета­тельному, существованию нулевого и противоположного векто­ра; и умножения вектора на число: сочетательному, двум рас­пределительным, умножению на единицу.  

В процессе решения задач замечают, что все из­вестные векторы из курса физики обладают одинаковыми свойствами сложения и умножения на число. Целесообразно объединить выделенные свойства в таблицу. Рассмотрим на примере сил, приложенных к абсолютно твёрдому телу.  и . Для определения равнодейст­вующей силы

1. Сложение: +  =	2. Умножение на число: k = .
Переместительное свойство: + = + .	Псиное распределительное свойст­во: (k+n) •  = k• +Mi • .
Сочетательное свойство:  +( + ) = ( + )+ .	Второе распределительное свойст­во: k• (  + ) = k•  +k• .
Существование нулевой си­лы :  + =	Сочетательное свойство: (к • n) •  =к • (n • ).
Существование для любой силы ей противоположной  + (- ) = .	Умножение на единицу: 1 •  = .
, ,  силы, приложенные к абсолютно твердому телу, к, n - числа.

Проиллюстрировать сложение векторов и умножение век­тора на число можно на следующих физических примерах.