Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные вектора. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы  и , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы , - , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы ,  и , -  пересекаются. Поэтому определены векторы = +  и = - .

Прямые, на которых расположены векторы  и пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы  и равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы , -  образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов  и можно понимать сумму векторов  и и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы  и  не образуют пару.

Вектором можно воспользоваться для задания направления в пространстве. Так как длина вектора для этой цели безразлична, то ради удобства в этом случае можно пользоваться вектором, длина которого равна единице. Такой вектор называют ортом, или единичным вектором. В частности, ортом данной оси называется вектор длины единицы, указывающий ее направление.     

Рассмотрим вектор , параллельный дан­ному орту (рис.). Легко видеть, что этот вектор можно представить в виде

 = Р,   (1)

где Р обозначает некоторое число (скаляр). Именно, Р = ± |  |, где плюс берется, если  и  направлены одинаково, а минус — в противном случае. Это непосредственно вытекает из понятия произведения вектора и числа. Например, если длина вектора  равна 5 и он одинаково направлен с , то

 = 5 ;

Ортогональная проекция вектора на ось

1. Угол между двумя направлениями. Прежде всего условимся, что называть углом между двумя направлениями на плоскости или в пространстве. Пусть даны два направления (например, направления двух осей, или двух векторов, или вектора и оси). Проведем из произвольной точки два вектора тех же направлений (рис.). Углом между рассматриваемыми направлениями называется тот из двух углов между этими векторами, который не превосходит . Если направления одинаковы, то угол между ними равен нулю; если направле­ния противоположны, то угол между ними равен .

2. Углом между двумя векторами называется угол между их положительными направлениями, заключенный в пределах от 0 до 180°; если начала векторов не совпадают, то для измерения угла между ними следует, не изменяя направлений, перенести их так, чтобы начала совпали.