Свойства проекции вектора

Л е м м а 1. Проекции равных векторов равны.

Л е м м а 2. Проекция вектора  равна произведению проекции вектора  на к.

Это предложение следует из того, что параллельными прямыми (плоскостями) все заключенные между ними прямые делятся на про­порциональные части (причем в случае к < 0 надо принять во внима­ние, что при умножении на отрицательное число как вектор, так и его проекция меняют направление на обратное).

Лемма 3. Проекция суммы нескольких векторов равна сумме проекций этих векторов.

Доказательство. Так как при построении суммы нескольких векторов начало каждого из складываемых векторов совмещается с концом предыдущего вектора, то и начало проекции каждого из складываемых векторов совмещается с концом проекции предыду­щего вектора; при этом совмещении, в силу леммы 1 (проекции равных векторов равны), проекции, передвигаясь по прямой, на которую производится проектирование, остаются равными себе как векторы. Таким образом, векторная ло­маная, служащая для построения суммы векторов, проектируется в векторную ломаную, служащую для построения суммы проекций этих векторов. Так как начало первого вектора проектируется в начало его проекции, а конец последнего вектора — в конец его про­екции, то вектор-сумма первоначальных векторов проектируется в век­тор-сумму их проекций, и лемма доказана.

Лемма. Положение центра тяжести системы точечных масс не изменится, если любую частичную группу точечных масс системы заме­нить одной точечной массой, расположенной в центре тяжести этой группы и имеющей в качестве массы сумму масс точек этой группы.

Действительно, так как положение центра тяжести, очевидно, не зависит от способа нумерации точек, то мы можем считать, что речь идет о группе из n первых точечных масс. Она заменяется одной точечной массой, сосредоточенной в её центре тяжести,

Эта лемма часто применяется при вычислении координат центров тяже­стей различных тел: тело разбивают на отдельные куски, центры тяжести которых легко найти, заменяя эти куски фиктивными точечными массами, равными массам этих кусков и сосредоточенными в их центрах тяжести, центр тяжести всего тела находят как центр тяжести этих точечных масс.

Центр тяжести С системы, состоящей из двух материальных точек М , М , обладающих положительными массами m  и m , находится на отрезке M M  и делит его на части, обратно пропорциональные массам m , m  (в частности, центр тяжести двух точек, обладающих одинаковыми массами, находится посредине между ними).

 Терминами «материальная точка», «масса» мы пользуемся исключи­тельно ради наглядности. В сущности речь идет о точках, каждой из которых приводится в соответствие некоторое число, которое (условно) называется «массой». Эти «массы» могут быть и отрицательными; в этом случае мы будем предполагать дополнительно, что сумма масс m  + m +...+m  отлична от нуля.