Векторное произведение

Векторным произведением вектора  на вектор  называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

•     длина вектора  равна произведению длин векторов  и  на синус угла ф между ними

•     вектор  ортогонален каждому из векторов  и

•     вектор  направлен так, что тройка векторов , ,  является правой.

Смешанное произведение есть скаляр­ная величина, ибо оно получается, как результат скалярного перемножения двух векторов (  и ) и . Оно имеет весьма простое геометрическое значение. А имен­но, легко показать, что смешанное произ­ведение трех векторов , ,  равно объему параллелепипеда, построенного на этих трех векторах (отложен­ных от одной и той же точки); при этом объему приписывается определенный знак.

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости, из-за того, что результатом является скаляр (точнее - псевдоскаляр).

Смешанное произведение есть скаляр­ная величина, ибо оно получается, как результат скалярного перемножения двух векторов Р X Q и R. Оно имеет весьма простое геометрическое значение. А имен­но, легко показать, что смешанное произ­ведение трех векторов Р, Q, R равно объему параллелепипеда, построенного на этих трех векторах (отложен­ных от одной и той же точки); при этом объему приписывается определенный знак.

Необходимые и достаточные условия расположения трех точек на одной прямой и четырех точек на одной плоскости. Так как три точки коллинеарны (т. е. лежат на одной прямой) тогда и только тогда, когда площадь построенного на них „треугольника" равна нулю, и, точно так же, четыре точки компланарны (т. е. лежат на одной плоскости) тогда и только тогда, когда объем построенного на них «тетраэдра» равен нулю.