Пусть точка А твердого тела неподвижно закреплена, а в точке B (Рис. 4) приложена сила . При этом возникает вращающий момент, численно равный - площади параллелограмма, построенного на векторах и .
Рис. 4
Вектор - представляет собой момент силы относительно точки А.
Задачи
Задача 1. Раскрыть скобки и упростить выражение .
Решение: Используя свойства векторного произведения (формулы 4, 5), получаем ,
т. к. , , , .
Задача 2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где - единичные векторы, образующие угол .
Решение:
, т. к. , ,
Задача 3. Найти векторное произведение векторов и .
Решение: По формуле (7) имеем
Задача 4. Найти площадь треугольника, координаты вершин которого известны: , , .
Решение:
Рассмотрим векторы и . Площадь треугольника ABC есть половина площади параллелограмма, построенного на векторах и .
, .
Найдем проекции векторов и на координатные оси:
,
По формулам (7) для векторного произведения векторов найдем, что
Смешанное произведение трех векторов.
|
|
Определение: Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор .
Обозначение смешанного произведения
В результате смешанного произведения трех векторов получается число .
Если , то тройка векторов , , - правая.
Если , то тройка векторов , , - левая.
Определение: Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю, т. е. Û векторы , , - компланарны.