Векторное произведение двух векторов

Определение: Три некомпланарных вектора , и , приведенные к общему началу, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден совершающимся против часовой стрелки (Рис. 1) и левую, если по часовой (Рис. 2).

Рис. 1 Рис. 2

Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется такой вектор (Рис. 1), который

1. имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е. , где j - угол между векторами и ;

2. перпендикулярен векторам и , т. е. ;

3. направлен так, чтобы тройка векторов была правой.

Векторное произведение обозначается или .

Следует запомнить, что в результате векторного произведения двух векторов получается вектор.

Свойства векторного произведения

При перестановке множителей векторное произведение меняет направление на противоположное, сохраняя модуль .
Сочетательное свойство по отношению к скалярному множителю .
Распределительное свойство .
Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. , если , либо , либо . В частности .

Выражение векторного произведения через координаты

Пусть заданы два вектора и . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены:

или .

Полученную формулу можно записать еще короче , так как правая часть предыдущего равенства соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.