II. Векторная алгебра

Лекция № 6. Понятие вектора. Проекции вектора.

Определение: Вектор – это направленный отрезок прямой. Вектор обозначается обычно двумя буквами, сначала пишется буква, указывающая начало, а потом, буква, указывающая конец вектора. Вектор обозначается  или .

Рис. 1

 

Определение: Длина вектора называется его модулем и обозначается символом  или .

Определение: Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором. Нулевой вектор направления не имеет. Обозначается  - нулевой вектор.

Определение: Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается  - единичный вектор

Определение: Векторы, расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными. (Рис. 3)

 

Рис. 2

Определение: Два вектора называются равными, если они:

1. имеют равные модули

2. коллинеарны

3. направлены в одну сторону (Рис. 3)

Рис. 3

или

 

Определение: Вектора называются противоположными, если они:

1. имеют равные модули

2. коллинеарны

3. направлены в противоположную сторону(Рис. 4)

 и  - противоположные векторы или  и

Рис. 4

 

Определение: Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны некоторой плоскости. (Рис. 5)

Рис. 5

Определение: Проекцией вектора  на ось l, называется длина отрезка , заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось. Эта длина берется со знаком плюс, если направление отрезка  совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если его направление противоположно направлению оси.

Проекция вектора на ось положительна, если вектор образует с осью острый угол и отрицательна, если вектор образует с осью тупой угол. (Рис. 6)

 

Рис. 6

Проекции вектора на координатные оси называют также его (декартовыми) координатами.

Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала.

Если для вектора  известны координаты его начала и координаты его конца , то проекции вектора  на оси координат определяются по формулам

б

 

Модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его проекций.

Модуль вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат вычисляется по формуле:

 

Если вектор  исходит из начала координат, а его конец М имеет координаты , то тогда его проекции на координатные оси равны координатам его конца: .

Определение: Радиус – вектор точки  обозначается через . Модуль радиус - вектора точки  вычисляется по формуле

 - называют направляющими косинусами вектора .

Рис. 7

Если a, b, g - углы, образованные вектором  с координатными осями OX, OY, OZ прямоугольной системы координат, то проекции вектора  на координатные оси будут равны

Сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице . Данное равенство позволяет определить один из углов a, b, g, если известны два других.

Координатами единичного вектора  являются числа , т. е.

Задачи

Задача 1. Вектор  задан координатами своих концов А и В: ; . Найти проекции вектора  на координатные оси и его направляющие косинусы.

Решение: Проекции вектора  на координатные оси находим по формулам (4):

, , .

Длина вектора  определяется по формуле: .

Направляющие косинусы: ; ; .

Задача 2. Дан модуль вектора  и его углы с осями координат: , а g - тупой угол. Вычислить проекции этого вектора на координатной оси.

Решение: Используем формулу (9) для определения .

Так как g - тупой угол, следовательно, . Проекции вектора  на оси координат находим по формулам (8):

.