Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не изменится при круговой перестановке векторов .
2. Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противоположный .
3. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения .
4. Смешанное произведение ненулевых векторов , ,  равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Выражение смешанного произведения через координаты

Пусть заданы векторы , , . Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:

.

Полученную формулу можно записать короче: , так как правая часть представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

Определение: Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами, равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

Приложения смешанного произведения

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды

Объем параллелепипеда, построенного на векторах ,  и  вычисляется как , т. е. абсолютная величина смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Объем треугольной пирамиды

.

Замечание1.

Знак перед определителем должен быть выбран так, чтобы объем V был положительным.

Замечание 2.

Предполагается, что векторы , и  не лежат в одной плоскости (некомпланарны).

Задачи.

Задача 1. Вектор  перпендикулярен к векторам и , угол между и  равен . Зная, что , , , вычислить .

Решение:

Рис. 1                         Рис. 2

По условию задачи тройка векторов , ,  может быть правой (Рис. 1) или левой (Рис. 2).

, где , .

По условию задачи .

Угол  (Рис. 1),  (Рис. 2), следовательно, . Тогда .

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды , ,  и . Определить ее объем.

Решение:

Рис. 3

Рассмотрим три вектора: , , . Найдем объем пирамиды по формуле (9)

В правой части выбран знак минус, так как определитель отрицателен.

Задача 4. Показать, что точки , ,  и  лежат в одной плоскости.

Решение:

Рассмотрим три вектора , и .

Находим смешанное произведение векторов:

(Элементы первого и третьего столбцов пропорциональны).

Поскольку , то векторы компланарны, т. е. точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.