Конечные разности различных порядков

Пусть: y =f(x) - заданная функция

- фиксированная величина приращения аргумента

Тогда - называется первой конечной разностью функции y, или конечной разностью первого порядка.

Вторая конечная разность, или конечная разность второго порядка.

Третья конечная разность, или конечная разность третьего порядка.

Т.о., в общем виде:

Конечная разность n -го порядка.

Пример:

Конечные разности различных порядков удобно располагать в форме таблиц двух видов: горизонтальной и диагональной таблиц разностей

x	y
x 0	y 0
x 1	y 1
...	...	...	...	...

Диагональная таблица разностей.

x	y
X 0	Y 0
X 1	Y 1
X 2	Y 2
X 3	Y 3

Пример: горизонтальная таблица функции y = f(x) = x² при

, x ₀ = 0 начальное значение, x ₆=5 конечное значение

x	y

Диагональная таблица

x	y

При составлении таблиц возможные ошибки вычисляются и диагональная таблица наглядно показывает нам, как отразится ошибка в значении y _n.

Следует заметить, что максимальная ошибка – в той же горизонтальной строке, где и табличная величина y_n.

Пример: исправить ошибку в таблице (неверные цифры взяты в скобки).

				Ошибка
	13,260
	14,144
	15,912
	15,028		(-4)0
		88(0)4
	16,79(2)6		(8)0
		88(8)4
	17,680		(-4)0
	18,564
	19,448
	20,332

Как видно из таблицы, ход вторых разностей нарушается при x= 19. Ошибка распространяется на 3 строки. Находим среднее арифметическое значение второй разности для средней из 3 точек:

=, =

Внося исправление в табличное значение y для x= 19, получим верное значение функции:

_n=(y _n+ )- =16.792-(-0.004)=16.796.