Модели критерия

В качестве целевой функции можно взять любую функцию, удовлетворяющую условию

. (*)

Ее вид зависит от специфики оптимизируемой системы и информации о виде функции.

Утверждение 1. П ри любом выборе f(x) согласно условию (*) вариация экстремального значения критерия ограничена пределами

, (1*)

где .

Доказательство. Д ля выполнено (*). Покажем, что

min f(x) = f(x₀)<= f⁺(x₀⁺)=min f⁺(x).

От противного. Пусть выполнено обратное:

min f(x) > min f⁺(x),

Тогда для f(x) > min f⁺(x)= f⁺(x₀⁺). Возьмем x=x₀⁺: ­ f(x₀⁺)>f⁺(x₀⁺), что противоречит (*). Значит, (1*) верно. Аналогично доказывается f(x₀^-)<= f(x₀). Утверждение доказано.

Рис. Иллюстрация к утверждению 1.

Упражнение. Сформулируйте и докажите аналог утверждения 1 для задачи на максимум.

Возможные варианты модели критериев:

1 MaxMin модель (пессимистический подход). Применяется, когда необходимо обеспечить гарантированный результат:

max f(x)->min, f [f(x)], xX, X₁={x>=0: A,b Ax<=b}.

Эта постановка ориентирована на наихудший случай, особенно в случае допустимой области

2 MinMin модель (оптимистический похдход), (минимальная из возможных моделей критериев):

minf(x)->min, f [f(x)], xX, X₄={x>=0: A[A], b[b] Ax<=b}.

Если использовать область , то буде получено минимально возможное значение критерия.

3 постановка в среднем: ,

Наиболее естественно использовать Х_5.

4 многокритериальная задача: f₁(x)->min, …, f_m(x)->min, f_i(x) [f(x)]. Далее можно использовать любые методы решения многокритериальной задачи.

Добавить из рукописи