Основы выпуклого анализа

Определение. [С.Н.Черников. Линейные неравенства. Стр.153]

Выпуклым конусом, порожденным конечной системой элементов

пространства называется множество элементов , определяемых формулой

.

При этом элементы называются образующими элементами конуса.

Опр. Пусть Х – произвольное множество из . Конической оболочкой множества называется множество всех неотрицательных линейных комбинаций

точек .

Коническая оболочка является наименьшим выпуклым конусом, содержащим множество Х.

Опр. Выпуклый конус К называется многогранным, если он представляет собой коническую оболочку конечного числа своих точек.

Т.о. конус выпуклый, если конечное число крайних векторов таких что для и только для них справедливо, что .

Еще одно определение многогранного конуса.

Опр. Выпуклый конус называется многогранным, если для заданного конечного множества векторов , любая точка является их неотрицательной линейной комбинацией

Столбцы матрицы будут крайними векторами.

Пример: Определить, принадлежит ли вектор конусу с крайними векторами

Составим матрицу и решим систему

: . Решение относительно : . Так как , то . Да, принадлежит.

Еще одно определение конуса.

Множество называется конусом с вершиной в т. , если из того, что , следует, что множеству К принадлежит и весь луч, выходящий из точки и проходящей через т. .

Т.е. , . (1)

Точка может принадлежать или не принадлежать множеству (1)

Утв. К – выпуклый конус с вершиной в точке тогда и только тогда, когда из условия , будет следовать, что

, (2)

а также

, , . (3)

Док-во. Необх. К – выпуклый конус. Из его определения следует, что если , то . Возьмем и положим , . Получим , . Т.к. конус выпуклый, то отрезок .

Дост. Пусть выполнено (2) и (3). Из (3) и (1) следует, что К-конус. Докажем, что он выпуклый. Т.е. если , то

, . (4)

При и это очевидно. Докажем для . Рассмотрим точки , . Тогда , что совпадает с (4). Утверждение доказано.

Опр. Вектор называется крайним для выпуклого конуса , если из того, что следует .