double arrow

Понятие о спектрах

Совокупности коэффициентов ak,bk разложения периодической функции f(t) в ряд Фурье называют частотными спектрами этой функции.

Из формул (8) и (9) видно, что ak= ak(k) ; bk= bk(k), если f(t) имеет период 2π, а если период Т, то ak= ak(k∆ω) ; bk= bk(k∆ω). Здесь частота первой гармоники ∆ω=2π/T, т.е. спектры являются функциями, зависящими от номера гармоники k, как независящей переменной. Графически частотные спектры изображают в виде отрезков длины ak,bk, проведённых перпендикулярно к оси, на которую наносим значения k или k∆ω. Т.к. k=1,2,… частотные спектры имеют дискретный (разрывный) характер, расстояние между отдельными линиями спектра в общем случае равно ∆ω, а при t=2π – единице.

Совокупность комплексных чисел Сk=2сk, определяемых для f(t) c периодом Т формулой (19) называется комплексным амплитудным частотным спектром.

Совокупность величин Ak= Ak(k∆ω) и φkk(k∆ω) (k=1,2,3…) называются соответственно амплитудным и фазовым частотными спектрами периодической функции f(t).

Ранее отмечалось, что k может быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому график спектров Аk и φk имеет смысл и при положительных, и при отрицательных частотах ω=k∆ω

Аk=2│сk│,

φk= -arg сk=arctg (bk/ak).

Отсюда получим, что A+│k│= A -│k│, φ+│k│= -φ -│k│,

т.е. амплитудный частотный спектр является четно-симметричной, а фазовый частотный спектр – нечетно-симметричной функцией частоты ω. Таким образом, при определении спектров часто достаточно изобразить лишь половину спектра при k∆ω > 0.

Пример. Изобразить частотные спектры периодической функции

Заданная функция имеет значения коэф.(см. пред. пр.) ak=0; bk=0 при четном k; bk=4a/(πk) – при нечетном k.

Отметим, что между периодическими функциями и их частотными спектрами существует взаимнооднозначное соответствие: f(t) определяет ее частотные спектры и, наоборот, зная частотные спектры, можно указать какой периодической функции они принадлежат. Благодаря этому соответствию в ряде задач техники оказывается удобным операции над периодическими процессами заменять операциями над частотными спектрами, характеризующими эти процессы.


Сейчас читают про: