Гармонический анализ

Ряды и интегралы Фурье

Руководитель диспетчерской службы М.А. Кузьмина

Начальник учебно-методического управления М.Ю. Харитонов

Декан факультета А.П. Данилов

В теории и практике автоматического регулирования часто встречаются процессы, которые могут рассматриваться как периодические.

Функция f (t) называется периодической функцией, если при некотором постоянном числе Т>0, выполняется равенство

где Т – период функции;

n – любое целое число, положительное или отрицательное, а аргумент t принимаем значения из области определения функции.

Периодическая функция f (t) cпериодом Т обладает свойством, состоящем в том, что

Косинусоидальный (или синусоидальный) гармонический колебательный процесс

является примером простейшей периодической функции. Эта функция называется гармонической с амплитудой А, угловой частотой w и начальной фазой j. Нетрудно убедиться,

что гармоника имеет период T=2p/w. В самом деле

т.е. равенство (1) выполняется.

Сложение гармоник с различными частотами w, 2w, 3w, кратными наименьшей из них w приводит к образованию периодической функции с периодом T=2p/w равным периоду первой гармоники с частотой w. Эта функция отличается от гармоник. Каждое из слагаемых функции может характеризовать, например, косинусоидальное колебание, однако их сумма не является косинусоидой. Ещё более будет отличаться от косинусоиды график функции

представляющий собой сумму бесконечного ряда.

В дальнейшем приращение частоты при переходе от гармоники с номером k к соседней с номером k +1 будем обозначать Dw. Тогда частоту первой гармоники также следует обозначить Dw, т.е. Dw = 2p/T, где T – период функции f(t). Тогда

Общий член ряда (3)

A_k cos(k Dw t-j_k) – называется k –й гармоникой, частота k –й гармоники k Dw, кратна частоте первой гармоники Dw.

Всякую ли заданную периодическую функцию f(t) можно представить в виде суммы гармонических составляющих, т. е. произвести её тригонометрическое разложение. Как найти неизвестные параметры каждой из гармоник разложения. Покажем, что периодические функции, принадлежащие весьма обширному классу функций, могут быть представлены в виде (3).

Допускается существование нулевой гармоники А₀. Функцию f(t) с периодом Т можно записать в виде:

Если учесть, что

и ввести обозначения

А_kcosj_k=a_k; А_ksinj_k=b_k; A₀=a₀/2,

то

и (4) можно записать в более удобном виде:

Периодическая функция f(t), имеющая период Т, оказывается разложенной по косинусам и синусам углов, кратных углу Dw t.

Если период функции f(t) T=2p, то Dw= 2p/T=1, тогда

Пусть функция f(t) имеет период, равный 2p, ипринадлежитк классу функций, для которых разложение существует. Определим неизвестные постоянные коэффициенты разложения (6) a₀, a_k, b_k (k=1,2,…).

Предварительно отметим свойство семейства функций

1, cos t, sin t, cos 2t, sin 2t … cos nt, sin nt…,

состоящее в том, что интеграл от произведения любых двух функций этого семейства на интервале, имеющем длину 2p равен нулю независимо от выбора нижнего предела интегрирования – свойство ортогональности на интервале длиной 2p.

Найдём коэффициент a₀. Предполагая, что ряд (6) является равномерно сходящимся,

проинтегрируем этот ряд почленно от - p до + p.

Заменим интеграл от бесконечной суммы, суммой интегралов от отдельных слагаемых (это возможно благодаря равномерной сходимости ряда (6)), тогда

т.к. все интегралы под знаком суммы равны нулю.

Откуда

Определим коэффициенты a_k и b_k. Для этого умножим обе части (6) на cos(nt), где n – целое положительное число, и проинтегрируем в пределах от -p до p

Первое слагаемое в правой части, а также те, в которых n ≠ k, из – за ортогональности семейства, обращаются в ноль т.е.

Следовательно

Аналогично, умножая (6) на sin(nt), после интегрирования получим

Формулы (7),(8) и (9) позволяют по заданной f(t) c периодом 2π найти коэффициенты разложения этой функции в тригонометрический ряд (6) называемый рядом Фурье. Коэффициенты a_k и b_k называют коэффициентами Фурье.

Если функция f(t) четная на интервале (-π; π), то произведение f(t)cos(kt) представляет собой четную функцию, а f(t)sin(kt) – нечетную. В этом случае b_k=0, а коэффициенты a₀ и a_k определяются по формулам

Если функция f(t) нечетная на интервале (-π; π), то f(t)cos(kt)- нечетная функция, а f(t)sin(kt) – четная. В этом случае a₀=0, a_k=0, а b_k может быть определен по формуле

В формулах (7) –(9) интегрирование производилось на интервале (-π; π). Однако результат не изменится, если проводить интегрирование на каком либо другом интервале длиной 2π, например на интервале (0; 2π)

Зная a_k и b_k легко определить амплитуду и начальную фазу k –й гармоники

Совокупность операций, в результате которых могут быть определены гармоники периодической функции f(t), называется гармоническим анализом.

Пример. Разложить на сумму гармонических составляющих прямоугольную волну, определяемую функцией:

Полагая, что заданная функция допускает разложение её в ряд Фурье, определим коэффициенты a₀, a_k и b_k. Т.к. f(t) – нечетная, то a₀₌a_k=0. Определим коэффициент b_k, применяя формулу(12):

Амплитуда первой гармоники A₁=4a/π, а частота ∆ω=1*(1/c), амплитуда второй равна нулю, третьей A₃=4a/3π, а частота 3∆ω=3*(1/c) и.т.д. Значения начальных фаз для всех гармоник разложения φ_k=π/2, arctg(b_k/a_k)=arctg ∞=π/2.

Пусть функция f(t) задана на интервале (-π; π) и допускает разложение в ряд Фурье. Это значит, что ряд (6) с коэффициентами, определенными по (7) –(9) сходятся к f(t). При этом f(t) может быть непериодической. Разложение подобной функции в ряд Фурье на интервале (-π; π) означает, что f(t) периодически продолжена вне интервала (-π; π) на всю ось 0t. На интервале (-π; π) эта новая функция совпадает с f(t). Ряд Фурье для непериодической функции f(t) заданной в интервале (-π; π) совпадает с рядом Фурье для функции периодически продолженной на всю ось 0t.

Вопросы сходимости не рассматриваем.

Результаты разложения на сумму гармонических составляющих функции f(t), имеющей период 2π, распространим на периодические функции с периодом отличным от 2π.Разложим в тригонометрический ряд функцию f(t) периода Т. Опуская выкладки, получим (вводя новую переменнуюи переходя к старой)

где

Запишем тригонометричесеий ряд (5) в комплексной форме. Используя формулу Эйлера

получим

Введём обозначения:

Обозначив С₀=a₀/2, получим для функции f(t), заданной в интервале (-T/2, T/2), ряд Фурье (5) в комплексной форме:

Здесь, как и ранее ∆ω=2π/T – частота первой гармоники

с_k – комплексные коэффициенты разложения f(t) в раз.

e^jk∆ωt - комплексная гармоника.

Так как 2c_k=a_k-jb_k , то, принимая во внимание, что комплексное число Z может быть представлено в виде:

Z=r e^jφ, и равенство (13) найдём:

Величину C_k=2c_k называют комплексной амплитудой k – ой гармоники. Очевидно, что A_k=2│c_k│. Формулу (17) удобнее записывать в виде:

где F(jk∆ω)=(2c_k/∆ω)π (*)

– относительная комплексная амплитуда k – ой гармоники.

Неизвестные коэффициенты в разложении (17) определяются по формуле:

а F(jk∆ω) с учётом (*)

т.к. ∆ω=2π/T.

В формуле (17) суммирование производится как по положительным, так и по отрицательным значениям k. Таким образом, комплексная форма ряда Фурье допускает существование и положительных и отрицательных частот ω=k∆ω. Однако после суммирования комплексных слагаемых останутся несколько вещественные величины, так как комплексные коэффициенты c_k и c_-k являются сопряженными.