Второй замечательный предел

Раннее был рассмотрен предел числовой последовательности(функции натурального аргумента) ("число е ")

Рассмотрим функцию , которая отличается от числовой последовательности тем, что аргумент х "пробегает" все значения на числовой оси при (не только натуральные).

Найдем предел этой функции при непосредственный подсчет предела приводит к выражению .

Но при вычислении было показано что, этот предел в действительности равен "числу е ". Рассмотрим случай, когда , очевидно, для такое, что . Тогда и

(теорема 5.4.4)

(теорема 5.4.4)

В таком случае (теорема 5.4.2)

Можно сказать, что . Объединяя оба случая или получаем:

(5.4.7)

Этот предел называется вторым замечательным пределом. Положим Если , то Получаем модификацию второго замечательного предела:

(5.4.8)

Второй замечательный предел позволяет раскрывать неопределенности вида .

Примеры. Вычислить пределы.

1. - неопределенность

2.