Правило суммы. Основные законы комбинаторики

Основные законы комбинаторики

Задача: на блюде лежат 5 яблок и 2 груши. Сколькими способами можно выбрать один плод?

Решение: плод можно выбрать семью способами (5+2=7).

Если некоторый элемент a может быть выбран из множества элементов m способами, а другой элемент b может быть выбран n способами, причем любой выбор элемента b отличен от любого выбора элемента a, то выбрать либо a, либо b можно m + n способами.

На языке теории множеств это правило формулируется следующим образом:

Теорема1: если пересечение конечных множеств пусто, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множеств А и В

АВ = | АВ | = |A| + |B|

Разберем случай, когда множества могут иметь непустые пересечения.

Теорема2: для любых конечных множеств верно равенство:

| АВ | = |A| + |B| − | АВ |.

Задача: среди студентов первого курса 30 человек имеют дома компьютер, 35 – учебник по информатике; оказалось, что 10 студентов имеют и компьютер, и учебник по информатике. Сколько студентов на первом курсе?

Решение: пусть множество А составляют студенты, имеющие компьютер, множество В – студенты, имеющие учебник по информатике; по условию задачи:

|A| = 30 |B| = 35 | АВ | = 10 | АВ | =?

| АВ | = |A| + |B| – | АВ | = 30 + 35 – 10 = 55.