double arrow

Зависимость между моментами инерции при повороте осей

Пусть задана система координат главных центральных осей x0,y0, для которой известны моменты инерции , центробежный момент инерции в этих осях равен нулю (рис.2.9). Вычислим моменты инерции этого сечения относительно новых осей x,y, повернутых по отношению к главным на угол α - угол между осямиx0 и x.Он будет положительным, если поворот от оси x0 к осиxпроисходит против часовой стрелки и отрицательным - если по часовой стрелке.

Из рис. 2.9 следует:

=,

y =

С учетом этих формул запишем выражения для моментов инерции рассматриваемого сечения в координатных осях x, y:

Iх ==0 cоsα - х0 sinα)2dA =уcоs2 α dA ­–

-2х 0у0cоsα· sinαdA+sin 2αdA,

т.е. = cоs 2α-2 Іх 0у0cоsα·sinα +sin 2α.

Іу = =0csα + у0sinα)2dA =хcоs 2αdA +­­­­­+2х 0 у0cоsα· sinαdA+уsinα dA=

= cоs 2α + 2 Іх 0у0cоsα·sinα +sin 2α.

Іху= = =

==

= cos2α ·cоsα ·sinα +cоsα∙ sinα - sin2α.

Так как , cоsα ∙sinα =, то окончательно получим

.

Складывая выражения Іх и Іу, получим

.

Таким образом, при повороте координатных осей сумма осевых моментов инерции не изменяется.


Сейчас читают про: