Зависимость между моментами инерции при повороте осей

Пусть задана система координат главных центральных осей x₀,y_0, для которой известны моменты инерции , центробежный момент инерции в этих осях равен нулю (рис.2.9). Вычислим моменты инерции этого сечения относительно новых осей x,y, повернутых по отношению к главным на угол α - угол между осямиx₀ и x.Он будет положительным, если поворот от оси x₀ к оси x происходит против часовой стрелки и отрицательным - если по часовой стрелке.

Из рис. 2.9 следует:

=,

y =

С учетом этих формул запишем выражения для моментов инерции рассматриваемого сечения в координатных осях x, y:

I_х ==(у₀ cоsα - х₀ sinα)²dA =уcоs² α dA ­–

-2х ₀у₀cоsα· sinαdA+sin ²αdA,

т.е. = cоs ²α - 2 Іх ₀у₀cоsα·sinα + sin ²α.

І_у = =(х₀csα + у₀sinα)²dA =хcоs ²αdA +­­­­­+2х ₀ у₀cоsα· sinαdA+уsinα dA=

= cоs ²α + 2 Іх ₀у₀cоsα · sinα +sin ²α.

І_ху= = =

==

= cos²α ·cоsα ·sinα +cоsα∙ sinα - sin²α.

Так как , cоsα ∙sinα =, то окончательно получим

.

Складывая выражения І_х и І_у, получим

.

Таким образом, при повороте координатных осей сумма осевых моментов инерции не изменяется.