Рассмотрим геометрические характеристики прямоугольника, треугольника, круга и кольца.
Прямоугольник: выделим элементарную площадку dA ═ b·dy (рис.2.2). Тогда
І
х =
у
2 dA =
у
2 b dy = у
3 b ∕ 12|
= bh
3 ∕ 12.
Треугольни к: элементарная площадка запишется выражением dA═b(у)·dy (рис.2.3). Из подобия треугольников следует b(у) ∕ b = (h─y) ∕ h, откуда получим
b(у) =b(1- ), Іх = у2 dA =у2 b(1- ) ·dy = b(у2 – ) dy = b(– )|= bh3 ∕ 12.
Круг: выделим элементарную площадку dA (рис.2.4) в виде кольца с радиусами ρ и ρ+dρ, т.е., dA=2πρdρ.
Полярный момент инерции Іρ ═ρ2dA ═ ρ22πρdρ ═2πρ3dρ ═2πρ4 ∕ 4|═
Так как Іρ = Іх + Iy,а для круга І х ═ Іy,тоІх═ Іy═ .
Кольцо: моменты инерции кольц а с диаметрами D и d (рис. 2.5)определятся как разница моментов инерции круга с диаметром D и круга с диаметром d
Іх = Іу =– = ( 1 - ).
Введем обозначение ═ α , тогда
Іх = Іу =( 1 – α4 ), І ρ= (1 – α4).