Функция тока

Система (2.24), по существу, состоит из двух независимых дифференциальных уравнений, содержащих неизвестные x, y, z:

(2.25)

Эти дифференциальные уравнения первого порядка носят назва­ние уравнений Пфаффа. Каждое из них дает однопараметрическое семейство поверхностей:

; (2.26)

где С₁ и С₂ — константы.

Линия тока должна принадлежать обеим поверхностям, т. е. она должна быть линией пересечения этих поверхностей. Очевидно, что функции и должны быть определенным обра­зом связаны с компонентами скорости , , . Установим эту связь.

Вектор скорости на линии тока направлен по нормали к плос­кости, образованной и . Поэтому можно записать

; (2.27)

Это означает также, что будет справедливо равенство

(2.28)

где – скалярная функция положения.

Выполнив операцию div над левой и правой частью равенства, получим

Следовательно, условие

(2.29)

может служить для нахождения функции .

Функции и носят название функций тока. Если известна, то векторное поле скоростей может быть описано с помощью двух скалярных полей и . Вообще же функция подлежит определению.

В дальнейшем будет показано, что в качестве функции вы­ступает плотность среды. В случае несжимаемой жидкости и (2.29) переходит в условие несжимаемости (2.12).

Использование двух функций тока неудобно и практически не встречается. Однако в двухмерных течениях, когда скорости харак­теризуются только двумя компонентами, оказывается возможным рассмотрение только одной функции тока.

Рассмотрим плоское течение в плоскости Оху с компонентами скоростей и . Тогда из (2.24)

Отсюда немедленно следует и . Теперь пусть , . Обратимся к (2.33)

.

Следовательно,

; (2.30)

И должно выполняться условие:

(2.31)

Перейдем к описанию осесимметричных течений в цилиндрической системе координат:

, ,

, .

На основании (2.24)

Отсюда следует

,

и далее

.

Поэтому

, . (2.32)

Должно выполняться условие

. (2.33)

Функцию тока для плоского течения часто называют функцией тока Лагранжа, а для осесимметричного случая – функцией тока Стокса.