Два подхода к описанию движения сплошной среды

КИНЕМАТИКА ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ

Кинематикой называется раздел механики, изучающий движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения без выяснения причин его возникновения. Все кинематические величины, характеризующие движение твердого тела и движение отдельных точек (расстояния, скорости, ускорения и т.д.), рассматриваются как функции времени.

Для опи­сания сплошной среды возможны два подхода. Один из них налива­ется лагранжевым, другой – эйлеровым.

1) Лагранжев метод описания движения относится к типуотсчетных. В некоторый (начальный) момент времени t_o каждая из жидких частиц маркируется путем присвоения ей значений координат в данный момент времени. В трехмерном пространстве введем обозначение х_о= а, y_o = b, z_o= c. В дальнейшем прослеживается дви­жение каждой жидкой частицы индивидуально. При таком подхо­де положение частицы в каждый момент времени t > t_о будет зави­сеть от параметров а, b, с и t, которые называются переменными Лагранжа. Можно записать, что вектор положения жидкой частицы равен:

(2.7)

Скорость жидкой частицы выразится через производную радиус-вектора:

, (2.8)

а ускорение через производную скорости:

. (2.9)

В последних двух формулах при дифференцировании парамет­ры а, b, с являются постоянными, и являются функциями толь­ко времени и в этом случае операции дифференцирования и тождественны.

2) Эйлеров метод описания движения относится к типупространственных. В каждой точке пространства с координатами х, у, z изучаются параметры движения в различные моменты времени t. Таким образом, скорость жидкости в различных точках простран­ства должна быть функцией четырех переменных х, у, z, t, назы­ваемых переменными Эйлера,

, (2.10)

а ее дифференциал равняться

.

В движущейся среде приращения dx, dy, dz не являются неза­висимыми, а соответственно равны

, ,.

Поэтому справедливо равенство:

, (2.11)

где – оператор Гамильтона (набла).

Это означает, что полное ускорение индивидуальной жид­кой частицы, находящейся в момент времени t в точке пространст­ва с координатами x, y, z, состоит из двух частей: локального ускорения , обусловленного изменением скорости по вре­мени в данной точке, и конвективного ускорения , обусловленного неоднородностью поля скоростей в окрестности данной точки и связанного с этим обстоятельством конвективного переноса. Производная носит название индивидуальной или субстанциональной производной.

Если , поле скоростей стационарно, однако это еще не означает, что в жидкости отсутствуют ускорения. Стационарность или нестационарность поля скоростей зависит от выбора системы координат, о чем будет подробнее сказано в дальнейшем.

Если , поле скоростей однородно.

Если жидкость несжимаемая, то и поэтому:

(2.12)

Это уравнение называют условием несжимаемости.