Обтекание наклонной пластины при нулевом числе кавитации

Картина течения в физической плоскости z изображена на рис.7.12. там же последовательно показаны схемы течения в плоскостях W, W^-1, ω и t. Пользуясь теоремой Кристоффеля – Шварца, отобразим область W^-1 на верхнюю полуплоскость комплексного переменного t. Вся плоскость W^-1 будет являться внутренней областью относительно разреза вдоль положительных значений горизонтальной оси. Поэтому в точке С внутренний угол равен 2π, в точках В и В^’ внутренние углы равны π, а точка А переходит в бесконечность и из рассмотрения выпадает. Таким образом,

и далее

(7.13)

В точке С (t=-c) W^-1=0 и поэтому K₂=0. Отсюда

(7.14)

Отобразим теперь на эту верхнюю полуплоскость внутренность полуплоскость в плоскости ω. В точках В и B^’ внутренние углы равны π/2, а сами точки переходяn в t= ±1. Следовательно,

(7.15)

Рис. 7.12

Для нахождения констант K₃ и K₄ воспользуемся условием, что в точках t=±1 ω равняется соответственно, 0 и 1π. Это дает

0=iπK₃+K₄, -iπ=K₄.

С учетом найденных констант преобразование внутренности полуполосы плоскости ω на верхнюю полуплоскость t принимает вид

ω=archt-1π (7.16)

или

(7.17)

По определению, V_∞/V. Поэтому на наветренной стороне пластины имеем

(7.18)

Последние соотношения позволяют определить координату с в плоскости параметрического переменного t. В самом деле, на бесконечности V/V_∞=e^-ⁱ^(π-α), т.е. справедливо соотношение

Но по формуле Эйлера

e^-ⁱ^α= cosα - isinα.

Поэтому

c = -cosα (7.19)

(7.20)

Установим связь

(7.21)

и перейдем от переменной t, которая в данном случае является действительной величиной, так как изменяется лишь вдоль действия оси на отрезках В’А и ВА, к переменной γ:

(7.22)

С помощью указанной подстановки получаем

и далее

Теперь можно выразить константу K₁ через заданную длину пластины l. Выберем начало координат в середине пластины. Тогда ее концы ± l /2 будут соответствовать значения углов γ=0 и γ=π. Окончательно получим

(7.23)

В точке разветвления потока t=±∞ и поэтому γ=α. Координата этой точки равна

(7.24)

Вычислим результирующую сил давления жидкости на пластину:

(7.25)

Выражая константу K₁ с помощью (7.19) и подставляя найденное значение в (7.25), получим окончательное выражение для нормальной силы

(7.26)

которому соответствует коэффициент нормальной силы

(7.27)

Аналогичным путем вычислим момент сил давления относительно центра пластины

(7.28)

и соответствующий коэффициент момента

(7.29)

Используя выражения для нормальной силы (7.26) и продольного момента (7.23), нетрудно выразить координату центра давления:

(7.30)

Приведенное решение получено Рэлеем.

Обратим внимание, что величина нормальной силы до α≈40° с достаточной точностью следует закону sinα. В скоростной системе координат выражения для гидродинамических коэффициентов будут равны