Формы каверн на основном участке

При достаточно малых числах кавитации основной участок каверны должен представлять собой удлиненное тело вращения. В самом деле, согласно (7.61), при . Поскольку крутой поворот потока завершается на начальном участке, на основном участке должны выполняться условия Эти условия дают возможность различными путями с различной степенью точности вывести приближенные уравнения, управляющие конфигурацией каверны.

Воспользуемся сначала интегральной формой теоремы импульсов. С этой целью выделим контрольный объем жидкости цилиндрической поверхностью Σ₃, ось которой совпадает с осью симметрии кавернообразующего тела и каверны, и двумя плоскостями, перпендикулярными оси симметрии. Одну плоскость Σ₁ расположим далеко вверх по потоку так, чтобы скорость жидкости в ней была постоянной и равной невозмущенной скорости набегающего потока V_∞. Вторую плоскость Σ₂ проведем через произвольную точку продольной оси в пределах домиделевой части каверны. Эта плоскость создает сечение каверны радиусом R и площадью . Цилиндрическая поверхность Σ₃ охватывает кавернообразующее тело и каверну (рис. 7.13).

Рис. 7.13

Теорема о количестве движения: изменение количества движения жидкости в единицу времени равно импульсу давлений и внешних сил, действующих на рассматриваемый объём.

Запишем теперь теорему о количестве движения для выделенного контрольного объема жидкости в проекции на ось x:

. (7.66)

Здесь , X- сила кавитационного сопротивления. Интегралы по Σ3 отсутствуют, так как радиус цилиндрической поверхности можно устремить в бесконечность, где возмущенная радиальная скорость v стремится к нулю как 1/r3 (течение от диполя). Интеграл по Σ₃ от давления также даст нуль.

Упростим это выражение. Из уравнения Бернулли выразим давление :

(7.67)

Тогда сопротивление равно

(7.68)

Для вычисления первого слагаемого используем закон сохранения массы, выраженный в форме уравнения расхода:

(7.69)

Отсюда следует, что

Поэтому

(7.70)

Используя этот результат и (7.68), запишем основное интегральное соотношение теоремы импульсов для кавитационных течений:

(7.71)

Поделив обе части равенства на скоростной напор и на площадь кавернообразующего тела (насадка) S_н перейдём к безразмерной форме интегрального соотношения:

, (7.72)

где тильдой отмечены безразмерные величины:

, , ,

, .

Полученное уравнение весьма удобно для приближенного анализа. В условиях справедливо u<<v. Следовательно, вторым интегралом можно пренебречь. Далее проведём контрольную плоскость Σ₂ в миделевом сечении, так что v=0. Поэтому

. (7.73)

Если в коэффициенте сопротивления перейти к площади сравнения (площади миделя каверны) и ввести новый коэффициент сопротивления , то окажется

. (7.74)

В действительности и в последнюю формулу можно ввести поправочный коэффициент k:

. (7.75)

Из (7.73) непосредственно следует, что максимальный радиус равен

Экспериментально доказано, что поправочный множитель k является слабой функцией от числа кавитации и при малых значениях σ его значение близко к единице (k =0,95…1,0).

Основное интегральное соотношение (7.71) может быть использовано и для нахождения радиуса каверны в произвольном сечении, а не только в миделевом. В самом деле, пренебрегая величиной интеграла , получим

. (7.76)

В плоскости Σ₂ течение теперь может рассматриваться как чисто радиальное. На поверхности каверны поток должен быть тангенциальным, т.е. должно быть

, (7.77)

или в линейном приближении

. (7.78)

Иными словами, в плоскости Σ2 должно наблюдаться радиальное течение жидкости, вызванное расширением парогазовой круговой полости, обладающей скоростью стенок v(R). Радиальная скорость такого течения на произвольном радиусе r может быть найдена из равенства расходов жидкости через две окружности: радиуса R и радиуса r. Это дает соотношение:

а с учётом (7.77)

(7.79)

Рассмотрим теперь интеграл

. (7.80)

Как видим, при подстановке верхнего предела значение интеграла стремится к бесконечности, т.е. для радиального расширения круговой каверны в плоской задаче требуется бесконечное приращение кинетической энергии. Это противоречит физической сущности задачи. Поэтому для получения практических результатов будем считать, что внешний радиус границы течения в плоскости Σ₂ имеет большое, но конечное значение R*(x), которое можно уточнить после согласования с экспериментальными данными или результатами более строгих теоретических анализов (рис. 7.14).

Рис. 7.14

Сделанное допущение означает, что все возмущения в движении жидкости, вызванные присутствием кавернообразующего тела и каверны, сосредоточены в жидком кольце с внутренним радиусом R(x) и внешним радиусом R*(x). За пределами внешнего радиуса этого кольца возмущения равны нулю. Этот образ радиально расширяющегося жидкого кольца и дал наименование данному подходу: метод жидкого кольцевого слоя.

Введём обозначение:

(7.81)

В срединной части каверны R(x) изменяется слабо и поэтому справедливо положить . Аналогичное заключение можно сделать и относительно внешнего радиуса жидкого кольца . И тогда

, (7.82)

где - некоторый множитель, представляющий собой отношение внешнего радиуса жидкого кольца в миделевом сечении к полудлине каверны; λ=L_k/R_k – удлинение каверны.

Из экспериментов получено χ=0,54…0,64. Причём большое значение целесообразнее применять при σ=0,06, а меньшее - при σ=0…0,03. Теоретическая оценка величины χ равна 0,605.

Функцию μ часто трактуют как меру инерциальных свойств жидкого кольца.

Вернёмся к интегральному соотношение (7.76) можно переписать в виде:

(7.83)

Прейдем в данном уравнении от независимой переменной х к независимой переменной S согласно соотношениям

Продифференцируем (7.83) по S. Получаем каноническую форму дифференциального уравнения для приближенного определения профиля каверны при малых числах кавитации:

(7.84)

Интегрирование дает

(7.85)

При граничных условиях S=S_k, S^’=0, при x=0 получаем C₁=0,C₂=S_k _.

Следовательно,

(7.86)

или получаем каноническое уравнение эллипсоида:

. (7.87)

с полуосями:

(7.88)

(7.89)

Для построения в дальнейшем профиля составной каверны начало координат эллипсоидной каверны удобнее разместить в носике эллипсоида. Тогда при x=0 будем иметь S=0,из (7.83) получим условие

(7.90)

В новых координатах С₂=0, а уравнение профиля каверны запишем в виде:

(7.91)

или

(7.92)

где

Если использовать значение полуосей, то можно дать альтернативную формулу для закона изменения радиуса эллипсоидальной каверны:

(7.93)

Удлинение каверны равно

(7.94)

Удлинение эллипсоидальной каверны. Расчёт μ

Используя определение μ, получаем

(7.95)

Таким образом, для нахождения μ необходимо решать трансцендентное уравнение. Это решение можно осуществить численно методом последовательных приближений:

, , (7.96)

m- номер итерации.

В диапазоне чисел кавитации σ=0,06…0,02 параметр μ изменяется в пределах 1,5…2,0. этому же диапазону σ соответствуют удлинения λ=7…13.

Профиль каверны на основном участке в упрощенном виде:

. (7.97)

Если принять, что в сечении сращивание х₁ радиус каверны R₁=2R_н, то

(7.98)

При малых числах кавитации х₁~4R_н.

Полудлина составной каверны определится как:

, (7.99)

т.е. она будет несколько меньше, чем полудлина эллипсоидальной каверны. Анализ слагаемых, входящих в последнюю формулу, позволяет составить зависимость вида

, (7.100)