Каверна в тяжёлой жидкости

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КАВЕРНЫ В ТЕЧЕНИЯХ С ВОЗМУЩЕНИЯМИ

Учет весомости жидкости, наличие угла атаки у кавернообразующего тела, отличие насадка от круговой формы и другие возмущающие факторы могут вызвать различного вида деформации каверны.

Введение в рассмотрение фактора весомости кардинальным образом изменяет теоретическую постановку задачи о развитых кавитационных течениях. В самом деле из уравнения Бернулли для тяжелой жидкости

,

где H —возвышение рассматриваемого жидкого элемента (точки) над некоторой плоскостью сравнения. Динамическое условие на границе каверны приводит к переменной скорости на границах каверны, так как положение точек границ каверны отно­сительно плоскости сравнения будет переменным. Таким образом, парадокс Бриллюэна для тяжелой жидкости теряет смысл. В тя­желой жидкости можно подобрать такие условия, чтобы получи­лась стационарная каверна конечной длины, в частности каверна с заострением.

Различают три основных типа деформаций профиля каверны под влиянием поля сил тяжести:

1) осесимметричную деформа­цию поперечных сечений в продольном поле сил тяжести;

2) искривление оси каверны в поперечном поле сил тяжести (всплытие хвостовой части);

3) неосесимметричную деформацию круговых сечений каверны в поперечном поле сил тяжести.

Рассмотрим вертикальное движение тела - насадка с постоянной скоростью в тяжелой жидкости. Пусть — число кавитации в начале координат, ось которой направлена противоположно движению. Тогда число кавитации в произвольном сечении х будет равно

(7.106)

где

Знак плюс соответствует всплытию, знак минус соответствует по­гружению.

Можно записать закон изменения радиуса каверны:

(7.107)

Профиль каверны в тяжелой жидкости оказывается нестацио­нарным даже при равномерном движении и в связанной системе координат. Физически это легко объяснимо, так как в каждый момент времени тело - насадок внедряется в слой жидкости с иным значением перепада давления .

Качественную оценку влияния весомости воды на каверну можно получить, составив отношение архимедовой силы к силе сопротивления. Последняя практически от силы тяжести не за­висит. Итак,

(7.108)

где — объем каверны, а

Полагая каверну эллипсоидальной, окончательно находим

(7.109)

где - число Фруда, вычисляемое по полудлине каверны.

Можно сделать следующие заключения: влияние весомости будет существенным при , а слабым при ,несущественным при .

Если полудлину каверны в соответствии с предыдущим выра­зить в

виде:

то последнюю формулу можно записать иначе:

(7.110)

Архимедову силу в потоке около горизонтальной каверны и тела - насадка в вертикальной плоскости уравновешивает возникающая циркуляция, направленная против часовой стрелки. Согласно теореме Жуковского о подъемной силе, в этом случае будет создаваться подъемная сила, направленная вниз. Величина циркуляции Г должна соответствовать условию равенства подъемной силы и архимедовой.

Существование циркуляции наглядно демонстрируется опыт­ным путем. Поместим в поток жидкости однородный конус (плот­ность которого равна плотности жидкости) на длинной тонкой вертикальной нити, проходящей через центр объема. На режиме сплошного обтекания конус находится в равновесии. Если же за конусом подачей газа создать каверну, конус тонет. При разру­шении каверны конус занимает исходное положение.

Существование циркуляции следует также из элементарных рассуждений на основе уравнения Бернулли. Запишем уравнение Бернулли для верхней (индекс «в») и нижней (индекс «н») границы каверны:

.

Отсюда следует

По определению, циркуляция равна

.

В рамках линейной теории, если граничное условие снести с поверхности каверны на горизонтальную ось х, циркуляцию скоро­сти можно выразить в виде

,

где — полная длина каверны.

Далее приближенно можно считать, что

.

Но .

Таким образом,

, (7.111)

где - площадь меридионального сечения каверны.

Данную циркуляцию может генерировать П-образная вихре­вая система, аналогичная вихревой системе крыла. Пусть рассто­яние между свободными вихрями равно «b», тогда по теореме Жуковского подъемная сила равна

.

Запишем условие равенства подъемной и архимедовой сил

. (7.112)

Полагая, как и прежде, каверну эллипсоидальной, с учетом предыдущих формул найдем

(7.113)

Расчет величины всплытия кормы каверны h (рис. 7.15) можно выполнить на основе теории эквивалентного крыла

Рис. 7.15

Будем считать, что вихревая система каверны создает подъемную силу

.(7.114)

Величину подберем, опираясь на теорию крыла среднего и малого удлинения и руководствуясь соображением наилучшего совпадения расчетных и экспериментальных данных по всплыванию кормы каверны:

.

В линейной постановке угол отклонения оси вследствие всплывания каверны равен .

Из условия следует

. (7.115)

Форму искривления оси можно рассчитать по аппроксимирующей форме Журавлёва:

, (7.116)

справедливой в диапазоне ,

Вследствие существования перепада давления по высоте поперечного сечения горизонтальной каверны жидкие частицы, находящиеся на нижней стороне каверны, при радиальном расширении испытывают больший перепад давлений. Поэтому их радиальные скорости меньше и нижняя сторона каверны сначала как бы выпрямляется, а затем в сечениях вниз по потоку в нижней части каверны формируется гребень с вершиной, направленной вверх.

Одновременно происходит изменение габаритов поперечных сечений каверны. Вертикальный размер уменьшается, а горизонтальный - увеличивается. Происходит образование щек относительно вертикальной плоскости.