Общие замечания об оптимальных системах

Лекция 12.Оптимальные системы автоматического управления

Любая САУ в определенном смысле является оптимальной, т.к. в любом случае предпочтение одной системы перед другой означает, что выбранная система при определенных условиях в том или ином отношении лучше (оптимальнее) другой. Вместе с тем выделяют самостоятельную группу так называемых оптимальных (в том или ином смысле) САУ, понимая под этим термином такие системы, в которых реализуется закон управления по максимуму или минимуму значения выбранного, исходя из конкретных условий и задач управления, критерия оптимальности.

Очевидно, что может существовать большое разнообразие различных критериев, определяющих степень совершенства работы той или иной управляемой системы. Некоторые из этих показателей, как например, время переходного процесса (быстродействие), величина перерегулирования, статическая ошибка, установившаяся ошибка при медленных плавных изменениях входного воздействия были рассмотрены ранее.

Вообще говоря, все эти критерии качества важны для многих автоматических систем. Но часто в зависимости от устройства и назначения системы один из указанных (или иных) критериев качества может играть главную роль. Тогда при синтезе системы надо «выжать» из нее все, чтобы добиться максимума или минимума именно того показателя, который соответствует данному критерию. Остальные же показатели качества нужно при этом удерживать просто в допустимых по техническим требованиям пределах. Когда одинаково важны два каких-либо критерия, то составляется новый комбинированный показатель качества, максимум или минимум которого нужно обеспечить.

Оптимальной автоматической системой называется система, в которой закон управления выбран по максимум или минимуму того или иного показателя качества. При этом закон управления может быть либо линейным, либо нелинейным.

Наиболее общее выражение критерия оптимальности имеет вид интегрального функционала, зависящего от функции управления:

где Х(х₁,х₂,…х_n) – вектор фазовых координат (вектор состояния); U(u₁,u₂,…u_m) – вектор управления; t₀, t_k – время начала и конца управления.

Задачей теории оптимального управления является нахождение алгоритма, структуры и параметров системы управления, удовлетворяющих условиям оптимальности.

В оптимальной системе с линейным законом управления рассчитываются значения всех коэффициентов по максимуму или минимуму выбранного показателя качества, или же рассчитывается передаточная функция корректирующего устройства или фильтра (так называемый оптимальный линейный фильтр). В этом случае достигается максимум того, что может дать чисто линейная система.

Более широкими возможностями при оптимизации системы по тому или иному критерию обладают нелинейные законы управления. Введение нелинейностей в закон управления принципиально расширяет его возможности. То же самое касается и нелинейных корректирующих устройств и нелинейных фильтров. Однако расчет их структуры и параметров по максимуму или минимуму какого-либо показателя качества становится значительно сложнее.

В частности в оптимальных системах часто применяется релейный закон регулирования типа двухпозиционного или трехпозиционного, но с более сложным условием переключения:

U = C при f(х₁,х₂,…х_n) > 0,

U = 0 при f(х₁,х₂,…х_n) = 0,

U = - C при f(х₁,х₂,…х_n) > 0,

где U – управляющее воздействие; С – заданная постоянная; х₁,х₂,…х_n – обобщенные координаты системы, в которые могут входить отклонения управляемой величины и других переменных, характеризующих текущее состояние системы, а также их производные; f – функция переключения, которая может зависеть от начальных значений этих переменных и от характеристик задаваемого значения регулируемой величины в рассматриваемой САУ. Вид этой функции зависит как от выбранного показателя качества, так и от структуры и параметров системы в целом.

Во всех случаях оптимизации автоматической системы по тому или иному критерию должны учитываться реальные ограничения, всегда имеющиеся на практике, например, ограниченность запаса энергии, величины мощности, скорости, усиления, тока, емкости, допускаемой перегрузки, нагрева и т.п. Эти ограничения записываются в виде неравенств (например, dx/dt £ b), добавляемых к уравнениям динамики системы.

Используемый критерий качества тоже должен быть выражен либо непосредственно в виде функции от подлежащих выбору параметров закона управления, либо как подлежащий оптимизации результат решения уравнений динамики автоматической системы. Тогда задача сводится к отысканию максимума или минимума некоторого функционала.

Допустим, что требуется определить временную функцию x(t), удовлетворяющую заданным граничным условиям при t = 0 и t = T и обеспечивающую минимум интеграла следующего вида:

где F(x) – функция переменной х и производных dⁱx/dtⁱ.

В этом случае можно положить х = где j_i(t) - известные функции.

Для решения задачи требуется подобрать коэффициенты а_i так, чтобы интеграл J достигал минимума.

Для такого определения x(t) обычно необходимо обследовать большое число коэффициентов а_i. Если число таких коэффициентов невелико и при этом имеется лишь один минимум исходной функции, такая задача решается сравнительно просто. При других более общих условиях решение указанной задачи требует большого объема вычислений.

При построении оптимальных систем решаются следующие основные задачи: определение математической модели объекта управления; определение цели управления; выбор критерия оптимальности; оценка ограничений, накладываемых на параметры состояния и управления; выбор оптимального алгоритма работы управляющего устройства; схемная реализация управляющего устройства.