Аксиоматическое обоснование

Основные этапы подхода МАUТ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ АЛЬТЕРНАТИВ

Лекция 2 часа

Многокритериальная теория полезности (МАUТ)

Научное направление МАUТ (Multi-Attribute Utility Theory) отличают следующие особенности:

1) строится функция полезности, имеющая аксиоматическое (чисто математическое) обоснование;

2) некоторые условия, определяющие форму этой функции, подвергаются проверке в диалоге с ЛПР;

3) полученные результаты используются для оценки заданных альтернатив.

1. Разрабатывается перечень критериев.

2. Строятся функции полезности по каждому из критериев.

3. Проверяются некоторые условия, определяющие вид общей функции полезности.

4. Строится зависимость между оценками альтернатив по критериям и общим качеством альтернативы (многокритериальная функция полезности).

5. Оцениваются все имеющиеся альтернативы и выбирается наилучшая.

Точно так же, как и классическая теория полезности, МАUТ имеет аксиоматическое обоснование. Это означает, что выдвигаются некоторые условия (аксиомы), которым должна удовлетворять функция полезности ЛПР. В случае, если условия удовлетворяются, дается математическое доказательство существования функции полезности в том или ином виде. В МАUТ эти условия можно разделить на две группы. Первая группа – аксиомы общего характера, идентичные тем, которые использовались в теории полезности.

1. Аксиома, утверждающая, что может быть установлено отношение между полезностями любых альтернатив: либо одна из них превосходит другую, либо они равны.

2. Аксиома транзитивности: из превосходства полезности альтернативы А над полезностью альтернативы В и превосходства полезности В над полезностью С следует превосходство полезности альтернативы А над полезностью альтернативы С.

3. Для соотношений между полезностями альтернатив А, В, С, имеющими вид U(А)>U(В)>U(С), можно найти такие числа a, b, которые меньше 1 и больше 0, так что:

aU(А)+(1-a)U(С)=U(В),

U(А)(1-b)+bU(В)>U(В).

Аксиома 3 основана на предположении, что функция полезности непрерывна и что можно использовать любые малые части полезности альтернатив.

Вторая группа условий специфична для МАUТ. Они называются аксиомами (условиями) независимости, позволяющими утверждать, что некоторые взаимоотношения между оценками альтернатив по критериям не зависят от значений по другим критериям.

Приведем несколько условий независимости.

1. Независимость по разности. Предпочтения между двумя альтернативами, отличающимися лишь оценками по порядковой шкале одного критерия С₁ не зависят от одинаковых (фиксированных) оценок по другим критериям С₂,..., С_N. На первый взгляд это условие кажется естественным и очевидным. Но возможны случаи, когда оно не выполняется. Так, при выборе автомобиля при примерно одинаковой цене ЛПР предпочитает большую по размеру машину. Однако его предпочтение меняется на обратное, когда он узнает, что у машины не гидравлическая, а механическая коробка передач, что усложняет управление.

2. Независимость по полезности. Критерий С₁ называется независимым по полезности от критериев С₂,..., С_N, если порядок предпочтений лотерей, в которых меняются лишь уровни критерия С₁, не зависит от фиксированных значений по другим критериям.

3. Независимости по предпочтению являются одним из наиболее важных и часто используемых условий. Два критерия С₁ и С₂ независимы по предпочтению от других критериев С₃,...,С_N, если предпочтения между альтернативами, различающимися лишь оценками по С₁, С₂, не зависят от фиксированных значений по другим критериям.

Приведем пример нарушения условия независимости по предпочтению — выбор дачи для летнего отдыха (табл. 3.1). Вполне возможно, что альтернатива А предпочтительнее альтернативы В, если по критерию «Расстояние от города» оба варианта имеют оценку «Дача расположена недалеко от города». В то же время, если оба варианта имеют по последнему критерию оценку «Дача расположена далеко от города», вариант В может оказаться предпочтительнее варианта А.

Первые два условия независимости относились к независимости одного критерия от остальных, третье условие — к независимости пары критериев от прочих.

Таблица 3.1

Задача выбора дачи для летнего отдыха

Альтернатива	Критерии
Качество дачи (комфортность)	Наличие магазина недалеко от дачи	Расстояние от города
А	Хорошее	Нет магазина
В	Среднее	Есть магазин

Судя по литературе, отсутствуют примеры зависимости трех и большего числа критериев от остальных, которая не проявлялась бы в нарушении условия независимости по предпочтению. Появление такой зависимости «неопределенно по своей природе и трудно обнаружимо». В связи с этим понятно особое внимание, уделяемое проверке условия независимости по предпочтению.