Лекция 8. 1. Уравнение движения осциллятора при наличии силы, пропорциональной скорости f = – bv, вызывающей затухание колебаний

Основные выводы.

1. Уравнение движения осциллятора при наличии силы, пропорциональной скорости f = – bv, вызывающей затухание колебаний:

.

Решение этого уравнения выражается соотношением:

x = A e^{–b t} cos(w t + j)

где , и .

2. Величина b называется коэффициентом затухания, w_o — собственной частотой колебаний системы.

3. Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающиеся на период Т:

,

называется декрементом затухания, а логарифм этого выражения — логарифмическим декрементом затухания l = b Т.

4. При воздействии на колебательную систему внешней силы, изменяющейся с определенной частотой возникают вынужденные колебания. Если внешняя сила изменяется по закону F_вн = F _o sin w t, то уравнения осциллятора с учетом затухания имеет вид

.

Решение этого уравнения:

x = A _ocos ( w t – j_o),

где

, и .

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при определенной частоте для данной системы амплитуда достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота резонансной частотой:

.

Величина амплитуды при резонансной частоте определяется выражением:

.