Основное уравнение гидростатики

Из дифференциальных уравнений равновесия Эйлера следует, что давление в покоящейся жидкости изменяется только по вертикали (вдоль оси z), оставаясь одинаковым во всех точках любой горизонтальной плоскости, так как изменения давлений вдоль осей x и y равны нулю. В связи с тем, что в этой системе уравнений частные производные и равны нулю, частная производная может быть заменена на и, следовательно:

,

отсюда

,

Разделив левую и правую части последнего выражения на и переменив знаки, представим это уравнение в виде:

,

Для несжимаемой однородной жидкости плотность постоянная и, следовательно:

, или

,

Откуда после интегрирования получим:

,

Для двух горизонтальных плоскостей 1 и 2 уравнение выражают в форме:

,

где z1 z2 – высоты расположения двух точек внутри покоящейся однородной капельной жидкости над произвольно выбранной горизонтальной плоскостью отсчета (плоскостью сравнения),

р₁ и р₂ – гидростатические давления в этих точках.

Рассмотрим, например, две частицы жидкости, из которых одна расположена в точке 1 внутри объема жидкости – на высоте zот произвольно выбранной плоскости 0-0, а другая находится в точке 2 на поверхности жидкости – на высоте z₀от той же плоскости (рисунок 2).

Рисунок 2 – К основному уравнению гидростатики

Пусть р и р₀ – давление в точках 1 и 2 соответственно. При этих обозначениях согласно основному уравнению гидростатики:

,

или

Член zв уравнении, представляющий собой высоту расположения данной точки над произвольно выбранной плоскостью сравнения, называется нивелирной высотой. Величину называют напором давления или пьезометрическим напором.

Следовательно, согласно основному уравнению гидростатики, для каждой точки покоящейся жидкости сумма нивелирной высоты и пьезометрического напора есть величина постоянная.

Нивелирная высота характеризует удельную потенциальную энергию положения данной точки над выбранной плоскостью сравнения, а пьезометрический напор – удельную потенциальную энергию давления в этой точке. Сумма указанных энергий равна общей потенциальной энергии, приходящейся на единицу веса жидкости.

Основное уравнение гидростатики представляет собой частный случай закона сохранения энергии: удельная потенциальная энергия во всех точках покоящейся жидкости есть величина постоянная.

Уравнение -

Можно записать в виде:

Или

обозначив через , получим:

,

где величина называется весовым давлением.

Последнее уравнение является выражением закона Паскаля, согласно которому давление, создаваемое в любой точке покоящейся несжимаемой жидкости, передается одинаково всем точкам ее покоя.