Скорость звука. Число маха. Оценка влияния сжимаемости на изменение параметров газового потока

Влияние сжимаемости воздуха на сопротивление движению артиллерийского снаряда.

Сжимаемость воздуха проявляется в изменении его плотности при изменении давления.

Как известно из опыта, распространение малых возмущений давления или плотности, возникших в каком- либо месте газового потока совершается со скоростью звука a относительно потока

Для совершенного газа, подчиняющегося уравнению состояния Клапейрона- Менделеева P= ρ RT, получим, полагая, что процесс распространения звука- адиабатический,

(*)

т.е. P= Vρ^k. (звук распространяется так быстро, что тепло не успевает отводиться), тогда верна формула (*), т.к. dP/dρ=Vkρ^k-1= kP/ρ= k RT

Отношение скорости потока к скорости звука в данной точке потока принято называть местным числом маха

(5.11)

Если в данной точке потока M < 1, то течение в данной точке называется дозвуковым. Если в данной точке потока M > 1, то течение в данной точке называется сверхзвуковым. Точка потока, в котором M=1, называется критической, а параметры течения в этой точке – критическими.

Число маха является основным критерием подобия для газовых течений, с большой скоростью потока.

Рассмотрим, как проявляется сжимаемость воздуха в течениях с различными числами маха. Для этого рассмотрим процесс изоэнтропического торможения газового потока, т.е. процесс торможения, происходящий адиабатически (без подвода тепла извне) и в отсутствии работы сил внутреннего трения (т.е. для идеального газа). В этом случае давление и плотность совершенного газа связаны соотношением

(5.12)

называемым уравнением изэнтропы.

Запишем уравнение Бернулли (5.2) для изэнтропического течения сжимаемого газа с учетом

(5.13)

Подставив (5.13) в (5.2) получим уравнение Бернулли для изэнтропического течения сжимаемого газа

(5.14)

или

Будем считать, что газовый поток, имеющий параметры P, ρ, T, M изэнтропически тормозится. Определим параметры в точке торможения P^*, ρ^*, T^*, где V^*=0. Воспользовавшись (5.14), получим, что скорость звука в точке торможения

(5.15)

но (5.16)

Из уравнения изэнтропы (5.12) следует, что для совершенного газа

то есть, (5.17)

и (5.18)

Поставим (5.116) в (5.17), (5.18) и получим в совокупности

(5.19)

(5.20)

(5.21)

Разложим (5.21) в биномиальный ряд, получим

(5.22)

Отсюда следует, что при М=0.5 можно считать, что ρ^*= ρ с точностью 0.125=12.5%. При М=0.4 ρ^*=ρ с точностью 8%. При М=0.3 ρ^*= ρ с точностью 4.5%. То есть при числах маха М 0.3 с точностью до 4% можно считать газ несжимаемой жидкостью с плотностью ρ= ρ₀= ρ^*= idem во всем потоке, т.е. не учитывать изменений плотности вызванных перепадами давления.

Обычно считают, что при числах маха М< 0.6 влиянием сжимаемости воздуха на движение артиллерийского снаряда можно пренебречь и считать ρ= const= ρ. При больших дозвуковых скоростях (0.6< M< 1) и при звуковых и сверхзвуковых скоростях движения снаряда (М 1) учет изменений плотности, вызванных изменений давления существенен.