Построение математических моделей

Общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель выбирается исходя из вида операции и ее целевой направленности, с учетом задач исследования (какие параметры требуется определить и влияние каких факторов отразить). Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой системы . Эта информация определяет основную цель моделирования системы и позволяет сформулировать требования к разрабатываемой математической модели .

Математическую схемуможно определить как звено при переходе от содержательного (информационного) к математическому описанию процесса функционирования системы. Т.е., имеет место цепочка:

«Информационная модель – Математическая схема – Математическая модель».

При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулируется в основном выбором границы «система – внешняя среда ».Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы. Отнесение свойств системы к основным или второстепенным существенно зависит от цели моделирования системы.

Модель объекта моделирования, т. е. системы , можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества:

- совокупность входных воздействий на систему:

- совокупность воздействий внешней среды: ;

- совокупность внутренних (собственных) параметров системы: ;

- совокупность выходных характеристик системы: .

Внешняя среда

Входные воздействия Выходные характеристики

Рисунок 4. Модель объекта моделирования

При моделировании системы входные воздействия, воздействия внешней среды и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными,которые в векторной форме имеют соответственно вид: )=

а выходные характеристики системы являются зависимыми (эндогенными) переменными и в векторной форме имеют вид:

Процесс функционирования системы описывается во времени оператором ,который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида:

. (1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени для всех видов называется выходной траекторией . Зависимость (1) называется законом функционированиясистемы и обозначается . В общем случае закон функционирования системы может быть задан в виде функции, функционала,логических условий, в алгоритмической и табличной формахили в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования системы является понятие алгоритма функционирования ,под которым понимаетсяметод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий , воздействий внешней среды и собственныхпараметров системы . Очевидно, что один и тот же закон функционирования системы может быть реализован различнымиспособами, т. е. с помощью множества различных алгоритмовфункционирования .

Соотношение (1) является математическим описанием поведения объекта (системы) моделирования во времени , т.е. отражает его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями.

Для статических моделей математическая модель (1) представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта и , что в векторной форме может быть записано как

. (2)

Соотношения (1) и (2) могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т. д. Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы S характеризуется векторами …, ) и …,), где

(), (), …, () в момент ;

(), (), …, () в момент , .

Если рассматривать процесс функционирования системы S как

последовательную смену состояний , то они могут быть интерпретированы как координаты точки в - мерном фазовом пространстве, причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний называется пространством состояний объекта моделирования Z, причем .

Состояния системы в момент времени полностью определяются начальными условиями , [где ],входными воздействиями , внутренними параметрами и воздействиями внешней среды , которые имели место за промежуток времени , с помощью двух векторных уравнений:

Первое уравнение по начальному состоянию и экзогенным переменным определяет вектор-функцию ,а второе по полученному значению состояний - эндогенные переменные на выходе системы . Таким образом, цепочка уравнений объекта

«вход – состояния – выход»

позволяет определить характеристики системы:

Таким образом, под математической моделью объекта(реальной системы) понимают конечное подмножество переменных {, , } вместе с математическими связями между ними и характеристиками .

Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, т.е. стохастические (вероятностные) воздействия внешней среды и стохастические внутренние параметры отсутствуют, то модель называется детерминированной (определенной)в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями