2014-02-02
541
Данные уравнения в общем случае имеют вид
,
где 
- непрерывные функции.
Разделим уравнение на 
, получим
,
где 
.
Известны два метода решения этих уравнений.
1. Методзамены переменной.
Искомую функцию заменяют на произведение двух функций
,
где 
, 
- некоторые неизвестные дифференцируемые функции.
Подставим в уравнение, получим 
. Третье слагаемое 
сгруппируем с одним из первых слагаемых, либо с 
, либо с 
. Функции и входят в уравнение замены симметрично. Пусть объединим первое и третье слагаемые
.
Искомой является одна функция 
, а введены с помощью замены две , , поэтому одну из них, пусть , выберем по своему усмотрению так, чтобы 
равнялось нулю. Тогда уравнение распадется на два уравнения, каждое из которых с разделяющимися переменными,
Необходимо сначала решить первое уравнение, найти функцию . Затем подставить эту функцию во второе уравнение и решить его.
Решаем первое уравнение. При решении этого уравнения достаточно найти не общее решение, а одно какое-либо частное решение
Þ 
Þ 
.
Подставим найденную функцию во второе уравнение 
и решим его. Найдем функцию .
.
Затем записываем решение исходного уравнения как произведение функций 
.
.
Получена конечная формула для нахождения общего решения линейного уравнения. Однако, при решении примеров, обычно, используют замену и повторяют приведенные выше действия.
Пример 7.12. Решить уравнение 
.
Используем подстановку , получаем
Решаем первое уравнение системы
.
Решаем второе уравнение системы 
.
Þ 
.
Интеграл находим методом интегрирования по частям
Þ 
.
Находим общее решение исходного уравнения 
;
.
2. Метод вариации произвольной постоянной.
Для нахождения общего решения неоднородного линейного уравнения
сначала решают соответствующее однородное уравнение
.
Данное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим
Þ 
Þ
.
Далее, произвольную постоянную 
заменяют на функцию 
и ищут решение исходного неоднородного уравнения в виде
.
Теперь, чтобы получить решение уравнения, необходимо найти функцию . Найдем производную функции .
.
Подставим функцию и ее производную в исходное неоднородное уравнение .
.
Второе и третье слагаемые в левой части этого уравнения уничтожаются, получается дифференциальное уравнение относительно функции с разделяющимися переменными
.
Разделяем переменные и интегрируем
,
где С – произвольная постоянная.
Записываем решение исходного неоднородного уравнения
.
Пример 7.13. Найти общее решение уравнения 
.
Используем метод вариации произвольной постоянной. Решим соответствующее исходному однородное уравнение
.
Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде 
. Подставляем эту функцию в исходное уравнение
.
Получаем уравнение для нахождения
.
Решаем это уравнение
.
Находим
.
Записываем решение исходного уравнения
или
.
