Дифференциальные уравнения первого порядка

В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

или .

Используя уравнение , можно найти производную искомой функции в любой точке области определения функции на плоскости . Эта производная определяет тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой. Поэтому можно в каждой точке плоскости построить поле направлений и изобразить приближенно семейство интегральных кривых. Для этого используют изоклины.

Изоклиной называется линия, на которой производная решения дифференциального уравнения принимает постоянное значение.

Уравнение изоклин для уравнения имеет вид , где .

Пример 7.5. Для дифференциального уравнения построить поле направлений, несколько изоклин и приближенный вид интегральных кривых.

Рис. 81

Уравнение изоклин имеет вид , т. е. . На рисунке (рис. 81) изображены изоклины при , , , , , . Например, уравнение изоклины при является прямой , проходящей по биссектрисе 1-го координатного угла. Тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой на этой изоклине равен

(), т. е. касательные образуют с осью угол 135°. На рисунке это направление отмечено черточками.

При уравнение изоклины . Тангенс угла наклона касательных к интегральной кривой на этой изоклине равен . Уравнения изоклин: при , при , при , при . Чтобы изобразить приближенно вид интегральной кривой, необходимо выбрать произвольно начальную точку и от нее провести линию (кривую). Эта линия должна касаться направлений (черточек) на изоклинах.