2014-02-02
16623
Уравнение звена
. (3.13)
Уравнение в операторной форме
. (3.14)
Характеристическое уравнение звена
. (3.15)
Имеем два корня
(3.16)
Общее решение дифференциального уравнения, определяющее свободное движение (решения однородного дифференциального уравнения), имеет вид
. (3.17)
Характер переходного процесса звена зависит от вида корней, которые могут быть действительными или комплексными числами.
Если Т 1>2 Т 2, то корни характеристического уравнения будут действительными числами, которые можно представит в виде:
, 
, (3.18)
где Т 3 и Т 4 – некоторые условные постоянные времени, причем Т 3 > Т 4.
Тогда динамическая характеристика звена имеет монотонный апериодический характер и звено называется апериодическим звеном второго порядка. Из уравнения (3.14) получается передаточная функция звена, знаменатель которой можно разложить на два множителя и представить передаточную функцию в следующем виде
, (3.19)
где 
; 
.
Из (3.19) следует, что инерционное звено второго порядка можно представить как последовательное соединение двух апериодических (инерционных) звеньев первого порядка с постоянными времени Т 3 и Т 4:
|
|
|
, (3.20)
где 
; 
.
Решение уравнения (3.13) с использованием условных постоянных времени Т 3 и Т 4 при нулевых начальных условиях и однократном ступенчатом воздействии х вх(t) = const имеет вид
. (3.21)
Временная характеристика (кривая разгона) представлена на рис. 3.7.
Частотные характеристики звена удобно получить из представления последовательного соединения двух апериодических звеньев первого порядка. Частотная передаточная функция, получаемая при замене оператора р величиной j w, также представляется произведением частотных передаточных функций составляющих звеньев
(3.22)
| Рис. 3.7. Кривая разгона апериодического звена второго порядка |
Используя выражение W (j w) через амплитудно-частотную А (w) и фазо-частотную j(w) характеристики, имеем
(3.23)
Следовательно, амплитудно-частотные характеристики последовательно соединенных звеньев перемножаются, а фазочастотные – складываются:
, 
. (3.24)
Частотные характеристики апериодических звеньев первого порядка известны. Тогда амплитудно-частотная характеристика апериодического звена второго порядка будет
; (3.25)
а фазочастотная
. (3.26)
Из уравнений (3.25) и (3.26) следует, что при изменении частоты w от 0 до ¥ А (w) изменяется от k (w = 0) до 0 (w = ¥), а фазовый сдвиг изменяется от 0 (w = 0) до –p (w = ¥).
Апериодическое звено второго порядка так же, как и звено первого порядка, хорошо пропускает сигналы низкой частоты и плохо – сигналы высокой частоты.
Инерционными звеньями второго порядка являются обычно такие конструктивные элементы автоматических систем, которые содержат два накопителя вещества или энергии: последовательное соединение двух гидравлических емкостей (рис. 3.8, а) или последовательное соединение двух цепей RС (рис. 3.8, б).
|
|
|
 |
 |
| а | б |
| Рис. 3.8. Примеры апериодических звеньев второго порядка |
